بنابراین سیستم معادلات دیفرانسیل تصادفی به صورت زیر بیان می‌شود.

همانند بخش قبلی فرض می‌شود که قیمت نقدی نفت خام و بازدهی آسایش به صورت مستقیم قابل مشاهده نیست بنابراین با بهره گرفتن از فیلتر کالمن باید متغیرهای حالت (غیر قابل مشاهده) را به همراه سایر پارامترهای موجود تخمین زد. برای این امر ابتدا مدل فضای حالت را بدست می‌آوریم. همانطور که بیان شد مدل فضای حالت داری دو معادله است یکی معادله انتقال است که با گسسته سازی ‏(۳-۲۱) و مرتب سازی در فرم ماتریسی به صورت زیر نوشته می‌شود:

که

برای سادگی به صورت زیر نوشته می‌شود:

که  ماتریس جملات خطا می‌باشد که داری توزیع نرمال با میانگین صفر و ماتریس واریانس-کوواریانس به شکل زیر می‌باشد:

معادله دو‌می‌ در مدل فضای حالت، ‌معادله اندازه‌گیری است برای استخراج این معادله از رابطه بین قیمت آتی و نقدی نفت خام و سیستم معادلات دیفرانسیل ‏(۳-۲۱) استفاده می‌نماییم ابتدا سیستم معادلات ‏(۳-۲۱) را با بهره گرفتن از تکنیک‌های حل معادلات دیفرانسیل تصافی حل می‌نمایم سپس در رابطه ‏(۳-۳) قرار می‌دهیم^[۱۰۷] که در نهایت معادله زیر بدست می‌آید:

با لگاریتم گرفتن از طرفین برای قیمت‌های آتی مشاهده شده داریم:

در فرم خلاصه ماتریس به صورت زیر بیان می‌شود:

اگر چهار قراداد آتی برای استخراج قیمت اسپات و تخمین پارامترها در نظر بگیریم در این صورت داریم:

که  جمله خطا است و دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس-کوواریانس زیر می‌باشد:

بنابراین با داشتن معادله انتقال و اندازه‌گیری می‌توان با بهره گرفتن از فیلتر کالمن به تخمین مجموعه پارامترها  و متغیرهای حالت پرداخت. در این قسمت هدف تخمین پارامترها است تا از آنها برای شبیه سازی مسیر قیمت نقدی نفت و بازدهی آسایش جهت ارزش‌گذاری پروژه استفاده کرد.
مدل با واریانس تصادفی
در مدل‌های دو عاملی علاوه بر عامل تصادفی قیمت نقدی نفت خام، ممکن است یکی از پارامترهای  ،  ،  و  دارای رفتار تصادفی باشند. بنابراین بر حسب اینکه کدام یک از پارامترها تصادفی باشد ممکن است مدل‌های متفاوتی داشته باشیم. برای مثال اگر  به صورت تصادفی در نظر گرفته شود و بر حسب اینکه  چگونه در معادله دیفرانسیل تصادفی قیمت نقدی وارد شود و همچنین اینکه چگونه معادله دیفرانسیل آن در نظر گرفته شود ممکن است مدل‌های متفاوتی از قبیل مدل هیستون، مدل استین-استین و مدل کوکس- اینتگر و … را داشته باشیم. اگر  به صورت تصادفی باشد در این صورت مدل پیلی‌پویک^[۱۰۸] ۱۹۹۷ و… قابل بیان است.
در این بخش تاکید بر مدل با واریانس‌های تصادفی است. در ادامه تعدادی از این مدل‌ها بررسی خواهند شد. یک فرض مهم در مدل‌های ‌ارائه شده قبلی فرض ثابت بودن واریانس است. فرض ثابت بودن واریانس قیمت نقدی ممکن است با داده‌های موجود سازگار نباشد. زیرا در تعدادی از مطالعات که قبلا با بهره گرفتن از مدل‌های ARCH و GARCH انجام شده است فرض ثابت بودن واریانس داده‌های نفت خام رد می‌شود^[۱۰۹]. بنابراین در ادامه به بررسی مبانی ریاضی تعدادی از آنها خواهیم پرداخت.
مدل SABR
این مدل یکی از معروف‌ترین مدل‌های نوسانات تصادفی است که توسط ‌هاگن و همکاران ( ۲۰۰۲) ارائه شده است. این مدل برای قیمت گذاری اختیارات به کار می‌رود. چهارچوب اولیه این مدل به صورت زیر است.

که  و  به ترتیب متغیر قیمت نقدی و نوسانات قیمت نقدی کالایی  ام است.  واریانس نوسانات قیمت نقدی است.  حرکت وینر می‌باشد و  دیفرانسیل متغیر  است.
در این بخش حالت خاص  بررسی می‌شود. بنابراین معادلات دیفرانسیل تصادفی قیمت نقدی و نوسانات کالا به صورت زیر نوشته می‌شوند.

که  بیانگر سرعت همگرایی،  بیانگر میانگین بلند مدت نرخ بازدهی و  بیانگر نوسان بلند مدت نوسانات می‌باشد و فرض می‌شود که میان دیفرانسیل حرکت وینر(  ) همبستگی وجود دارد. مدل فضای حالت برای سیستم معادلات ‏(۳-۳۱) مانند مدل دو عاملی با بازدهی آسایش تصادفی استخراج می‌شود و مشابه آنها می‌باشد. با این تفاوت که باید از فیلتر کالمن بسط یافته استفاده نمود.
مدل هیستون^[۱۱۰]
این مدل دارای دو فاکتور تصادفی قیمت نقدی و واریانس قیمت نقدی است. همانند مدل قبلی فرض می‌شود که قیمت نقدی نفت‌ خام از حرکت برآونی هندسی پیروی می‌کند. با این تفاوت که واریانس به صورت ریشه دوم در معادله دیفرانسیل قیمت نقدی وارد می‌شود. همچنین در این مدل فرض می‌شود که واریانس قیمت نقدی  از یک فرایند تصادفی برگشت به میانگین ریشه دوم پیروی می‌کند.

در سیستم معادلات فوق  بیانگر سطح بلند مدت واریانس قیمت نقدی،  بیانگر سرعت بازگشت به سطح بلند‌مدت واریانس و  بیانگر واریانسِ واریانس تصادفی قیمت نقدی می‌باشد. همچنین در سیستم معادلات فوق  بیانگر تغییرات در حرکت وینر واریانس تصادفی است. فرض مهم برای ارتباط این دو معادله در سیستم معادلات فوق این است که دو جز وینر دارای همبستگی می‌باشند. بنابراین داریم:

که  ضریب همبستگی می‌باشد. در سیستم معادلات ‏(۳-۳۲) چون متغیرهای  و  به صورت مستقیم قابل مشاهده نیستند بنابراین برای استخراج آنها از تکنیک فیلتر کردن استفاده می‌شود.
برای تخمین و استفاده از لم ایتو، متغیر  را معادل لگاریتم قیمت نقدی در نظر می‌گیریم:

بنابراین سیستم معادلات به صورت زیر نوشته می‌شود.

در سیستم فوق چون متغیرهای  و  قابل مشاهده نمی‌باشند بنابراین بیانگر معادله انتقال در مدل فضای حالت است و معادله اندازه‌گیری همانند بخش (‏۳-۲-۲-) و(‏۳-۲-۲-۱-) معرفی می‌شود. یعنی داریم:

برای تخمین پارامترهای سیستم فوق  با بهره گرفتن از مدل فضای حالت، بایستی معادلات فوق به صورت گسسته نوشته شوند برای این امر از روش گسسته سازی اویلر-مارویاما^[۱۱۱] استفاده می‌نمایم. معادله انتقال در فرم گسسته به صورت زیر نوشته می‌شود.

بنابراین معادله انتقال به صورت زیر نوشته می‌شود:

که در فرم ماتریسی به صورت زیر نوشته می‌شود:

جمله خطا  دارای میانگین صفر و ماتریس واریانس-کوواریانس  می‌باشد که ماتریس  به صورت زیر می‌باشد.