شکل ‏۴‑۱ a) مساله تک درجه آزادی یک فنر غیر خطی b) رفتار نرم شونده و سخت شونده

شکل ‏۴‑۲ تکرار برای همگرایی در هر یک از سطوح باردهی P₁ و P₂ a) تکرار نیوتن رافسن، b) تکرار نیوتن رافسن تغییر یافته

در مثال بیان شده از فنر غیر خطی تک بعدی، سفتی تابعی از u می باشد، ولی نیروی از قبل تعیین شده، یک مقدار مشخص P بوده که مستقل از u می باشد. در یک مساله چند بعدی، هر دو ماتریس [K] و {R} ممکن است توابعی از {D} باشند.
چند روش معمول حل عددی در زیر آورده شده است. اغلب استفاده ترکیبی از این روشها می تواند کمک زیادی به حل مساله کند ولی بعضی از موارد این ترکیبات ممکن است مضر باشند و باعث واگرا شدن جواب شوند.
روش نیوتن رافسن^[۶۱]
در کتابهای محاسبات عددی این روش عموما به نام روش نیوتن نامیده شود، و به عنوان راهی برای استخراج ریشه یک چند جمله ای شناخته می شود. در اینجا، از آن به عنوان راهی استفاده می شود که منحنی P را در برابر u رسم می کند.
برای آغاز حل، ابتدا فرض کنید که در معادله (۴-۱)، u=0 باشد. سپس نیروی P₁ اعمال می شود در این مرحله رسیدن جابجایی مربوطه u₁ مد نظر می باشد. سختی تانژانت اولیه، به نام k_t0 در شکل ۴-۲(a) نامیده می شود و توالی نیروی اولیه، خود نیروی اولیه می باشد؛ ΔP₁=P₁ زیرا از نیروی صفر شروع نموده ایم. توالی جابجایی فعلی را محاسبه نموده و راه حل را به روز می کنیم:
(۴-۲)
که u_A تخمین جاری از نتیجه مطلوب u₁ می باشد. این تخمین دقیق نیست زیرا فنر تغییر شکل داده هنوز نیرویی هم اندازه با نیروی P₁ وارد نکرده است. خطای نیروی فعلی (یا عدم تعادل نیرو) e_PA برابر است با:
(۴-۳) e_PA = P₁ - ku_A
که k=k(u) با بهره گرفتن از جابجایی u_A محاسبه شده است.
حال “تکرارهای موازنه” را آغاز می نماییم که نهایتا سعی در صفر نمودن عدم تعادل نیرو دارد. با ثابت نگاه داشتن P₁ و شروع از نقطه a در شکل ۴-۲(a) و حرکت در جهت مماس بر منحنی در نقطه a وارد مرحله بعدی می شویم. بنابراین جابجایی دقیقتر u_B را بدست خواهیم آورد.
(۴-۴)
نیروی فنر هنوز با نیروی اعمالی P₁ برابر نیست. خطای نیروی جاری چنین است،
(۴-۵)
که k=k(u) با بهره گرفتن از جابجایی u_B محاسبه می شود.
مرحلی بعدی در جهت مماس بر منحنی در نقطه b حرکت می کند و توالی جابجایی Δu و جابجایی به روز شده u_B+Δu را بوجود می آورد. گرچه این روش همگرایی را برای تمامی مسائل غیر خطی تضمین نمی کند ولی تکرارهای متوالی معمولا موجب کاهش خطاهای نیرو شده، توالیهای جابجایی موفق Δu به صفر نزدیک می شوند و حل به روز شده به مقدار صحیح u₁ نزدیک خواهد شد.
توالی بعدی نیرو، ΔP₂ را می توان اضافه نمود و تکرار دوباره برای یافتن جابجایی u₂ آغاز می شود. معادلات مربوط به معادلات (۴-۲) و (۴-۳) به شکل زیر در می آیند،
(۴-۶)
(۴-۷)
واضح است که با اعمال توالی مراحل افزایش نیرو و تکرار برای همگرایی هر کدام، می توانیم هر مقدار نیرویی را که نیاز داریم برای رسم منحنی P در برابر u مشخص کنیم. احتمال همگرایی به یک حل صحیح در هر مرحله نیرو با درنظر گرفتن مراحل کوچک نیرودهی بهبود می یابد.
حال به بررسی این روش به صورت کلی تر می پردازیم ]۷۰[. معادله زیر را در نظر بگیرید،
(۴-۸)
روش تکرار نیوتن – رافسن بر اساس بسط سریهای تیلور معادله جبری غیر خطی (۴-۸) می باشد. فرض کنید که معادله (۴-۸) قرار است برای یافتن بردار جابجایی عمومی {Δ}_S+1 در زمان t_s+1 حل شود. با توجه به این واقعیت که ماتریس ضریب به جواب ناشناخته {Δ}_S+1 وابسته است، این معادلات توسط تکرار حل می شوند. برای فرمول بندی معادلاتی که قرار است در تکرار r+1 ام توسط روش نیوتن – رافسن حل شوند فرض می کنیم که جواب در تکرار r ام یعنی معلوم است. سپس معادلات زیر را تعریف می کنیم،
(۴-۹)
که {R} مانده نام دارد، که یک تابع غیر خطی از جواب ناشناخته {Δ}_s+1 می باشد. با بسط بردار {R} در سری تیلور در مجاورت داریم،
(۴-۱۰)
(۴-۱۱)
که O(.) بیانگر ترمهای مرتبه بالا در {δΔ} می باشد و ماتریس تانژانت سختی (یا ماتریس سختی هندسی) می باشد.
(۴-۱۲)
معادلات (۴-۹) تا (۴-۱۲) برای روش المان محدود نیز قابل استفاده می باشند. به عبارت دیگر، ماتریس سفتی در معادله (۴-۱۲) می تواند بعد از آنکه ماتریسهای سختی تانژانت المان و بردارهای مانده نیرو محاسبه شدند بدست آید. سپس معادله بدست آمده بعد از اعمال شرایط اولیه و مرزی مساله حل می شود.
(۴-۱۳)
سرانجام، بردار جابجایی کل به شکل زیر بدست می آید،
(۴-۱۴)
لازم به یادآوری است که ماتریس سختی تانژانت المان با بهره گرفتن از آخرین جواب مشخص محاسبه می شود، درحالیکه بردار مانده شامل ترکیبی از آخرین جواب بدست آمده از و جواب زمانی مرحله قبل در ازای می باشد. بعد از ترکیب و اعمال شرط مرزی، سیستم خطی معادلات برای {δΔ} حل می شود.
در ابتدای مراحل تکرار، یعنی r=0، فرض می کنیم که {Δ}^۰={۰} باشد، به طوری که راه حل در تکرار اول راه حل خطی می باشد، زیرا بدین ترتیب، ماتریس سختی غیر خطی به خطی کاهش می یابد. فرایند تکرار ادامه می یابد (یعنی معادله (۴-۱۳) در هر تکرار حل می شود) تا اینکه اختلاف بین و به یک تلرانس خطای از پش تعیین شده کاهش یابد. معیار همگرایی پاسخ به شکل زیر است (برای اختصار زیر نویس ‘(S+1)’ در مقادیر حذف شده است).
(۴-۱۵)
که N تعداد کلی مولفه های جابجایی های عمومی گره ای در شبکه المان محدود می باشد و є میزان خطای پذیرفتنی می باشد.
روش نیوتن – رافسن تغییر یافته^[۶۲]
به جای به روز کردن سختی تانژانت k_t قبل از محاسبه هر توالی جابجایی Δu، می توان از همان سختی تانژانت در سیکلهای تکرار متعدد استفاده نمود. این روش در شکل (۴-۲-ب)، آورده شده است، که سختی تانژانت اولیه k_t0 تا زمان همگرایی در سطح نیروی P₁ باقی می ماند، سپس به k_t1 به روز می شود و تا زمان همگرایی در سطح نیروی P₂ در k_t1 باقی می ماند. این انتخاب جایگزین برای سختی تانژانت تنها تغییری است که در معادلات (۴-۲) تا (۴-۷) نیاز است.
کاهش هزینه انگیزه ای برای ایجاد روش نیوتن – رافسون تغییر یافته می باشد. در یک مساله چند بعدی، روش اصلی نیوتن – رافسن نیازمند آن است که یک ماتریس سختی تانژانت جدید [K_t] قبل از هر محاسبه توالی درجات آزادی یعنی {ΔD} تولید شود، و محاسبه اصلی {ΔD} نیازمند فاکتور گیری از [K_t] به منظور حل همزمان معادلات جبری می باشد. روش نیوتن – رافسن تغییر یافته از تولید مکرر [K_t] جلوگیری می کند و هر محاسبه از {ΔD} بعد از اولین محاسبه تنها نیازمند تحلیل یک جمله جدید در سمت راست معادله می باشد. بنابراین، گرچه روش نیوتن – رافسن تغییر یافته نیازمند تکرارهای بیشتری نسبت به روش نیوتن – رافسن اصلی دارد ولی هر تکرار سریعتر انجام می شود و هزینه محاسبات بسیار کاهش می یابد. هزینه کلی محاسبات معمولا زمانی در پایین ترین حد خود قرار دارد که ماتریس سختی تانژانت به ندرت به روز شود (عمدتا زمانیکه یک توالی نیرو اضافه گردد) که این روند در شکل (۴-۲-ب) نشان داده شده است.
معیار همگرایی
تکرارها در یک سطح بار داده شده می تواند زمانی متوقف شود که نتایج طبق یک یا دو معیاری که توسط برنامه مشخص می شود به اندازه کافی نزدیک شده باشد. دو معیار پذیرفتنی می توانند چنین باشند که عدم تعادل نیروی جاری کسر کوچکی از نیروی اعمالی کل در سطح بار جاری باشد و یا اینکه توالی جابجایی جاری کسر کوچکی از توالی جابجایی اولیه باشد. بنابراین برای یک سازه با چند درجه آزادی که دارای بردار جابجایی {D}، نیروهای اعمالی {R} و سختی وابسته به جابجایی [K] می باشد، عدم تعادل نیرو برابر با {e_R}={R}-[K]{D} می باشد و دو معیار همگرایی به شکل زیرند
(۴-۱۶) همگرایی نیرویی: |e_R|<ε_R|R|
همگرایی جابجایی: |ΔD|<ε_D|ΔD₀|
که در توضیح قبل در مورد روش نیوتن - رافسن بیان شد که {e_R} و {ΔD} مربوط به مقادیر مشخص شده جاری از e_P و Δu می باشند. تلرانسهای ε_R و ε_D ممکن است در رده ۰۰۱/۰ تا ۰۱/۰ باشند، ولی مقادیر واقعی تطبیق یافته ممکن است کاملا متفاوت باشد، که وابسته به ذات مساله، دقت مورد نیاز و هزینه تکرارهای پیوسته باشد. اگر نرم تطبیق یافته نرم اقلیدسی^[۶۳] باشد، آنگاه داریم و به همین ترتیب. در معیار جابجایی، |ΔD₀| بیانگر توالی جابجایی اولیه مرحله بارگذاری جاری می باشد. اگر جابجایی انباشته {D} به جای آن استفاده شود، تست همگرایی کمتر طاقت فرسا خواهد بود.
به طور کلی{R}، شامل هم نیروها و هم ممانهاست. در معادله (۴-۱۶) عدم تناسب در ابعاد R_i نادیده گرفته شده است. ترمهای ممان ممکن است بر |e_R| و |R| غالب آیند اگر واحد ها میلیمتر باشند ولی نه زمانیکه واحد ها متر باشند. این مشکل را می توان با در نظر گرفتن فقط نیروها در ابتدای معادلات (۴-۱۶) برطرف کرد یا می توان این مشکل را با تقسیم هر ترم در {e_R} و {R} بر مربع ریشه ترم قطری مربوطه در ماتریس سختی عمومی اصلی تقلیل داد. در سیستمهای عمومی از واحدها، ترمهای چرخش به نظر نمی رسند که به اندازه کافی بزرگ باشند که بر |ΔD| و |D| چیره شوند.
گهگاه ارضای معیار همگرایی نیرویی مشکل است و این به دلیل عدم تعادل نیروهای محلی می باشند که تاثیر کمی روی رفتار کلی سازه دارند. با این حال تجربه نشان داده است که معیار جابجایی معمولا یک جایگزین مناسب نمی تواند باشد. معیار جابجایی ممکن است تنها به این دلیل تکرار را متوقف کند که فرایند همگرایی آرام است، یا ممکن است زمانیکه هنوز عدم تعادل قابل توجهی از نیرو وجود دارد همگرا شود. معمولا اگر معیار همگرایی جابجایی به کار گرفته می شود این روش می بایست با معیار همگرایی نیرویی تکمیل شود.
معمولا برای تعداد تکرارها یا زمان محاسبات محدودیت وجود دارد. رسیدن به یکی از این محدودیتها بدون همگرایی ممکن است نشان دهد که تلرانس همگرایی یا خیلی کم است یا اینکه الگوریتم حل به مشکل برخورده است. ممکن است شخص، فرایند را از سطح بار قبلی دوباره شروع کند ولی از توالی نیروی کوچکتری استفاده کند. در غیر این صورت تحلیل گر می بایست تصمیم بگیرد که چطور روند را ادامه دهد. راه های انتخاب شامل تغییر محدودیت تکرار، تغییر تلرانسهای همگرایی و انتخاب یک الگوریتم حل متفاوت می باشد. نرم افزار ممکن است این قابلیت را داشته باشد که الگوریتم حل را به طور خودکار تغییر دهد، و از نیروی کوچکتر دوباره شروع کرده و اندازه مراحل را تغییر دهد.
روش نیومارک^[۶۴]