۱.۲.۴ تخمین زمان در زمان رسیدن سیگنال در محیط­های تضعیف چند مسیره:
اگر فرض شود سیگنال ارسالی p(t) باشد سیگنال دریافتی در گیرنده در اینگونه محیط­ها به صورت زیر مدل می­ شود:
همانگونه که مشخص است در توان­ ارسالی پایین و محیط­های پر نویز آشکارسازی اولین مسیر دریافتی از بزرگترین مشکلات می­باشد.
اگر فرض شود سیگنال ارسالی در یک محیط شامل چندین اتاق باشد سیگنال دریافتی در اتاق­های مختلف به صورت زیر می­باشد.
شکل ۴- ۵: سیگنال دریافتی در مکان­های مختلف محیط تحت مراقبت [۲۷]
شکل۴-۶: محیط آزمایشی تحت مراقبت
هدف تخمین زمان رسیدن اولین سیگنال با بهره گرفتن از سیگنال دریافتی می­باشد.
باند­های تشخیص خطا:
از جمله معیارهای تشخیص خطا در آشکارسازی­ها باند خطای کرامر – رور^[۴۹] است که قبلا نیز از آن استفاده شد.
اما به دلیل آنکه این باند معمولا برای ارتباطاتی با نسبت سیگنال به نویز بالا بکار می­رود و از آنجا که در سیستم­های فراپهن­باند نسبت سیگنال به نویز پایین است، این باند برای استفاده در سیستم­های فراپهن­باند به صورت بهینه عمل نمی­کند.

باند تشخیص خطای دیگری که در سیستم­هایی با نسبت سیگنال به نویز پایین و پهنای باند بالا بهینه می­باشد باند خطای زیو-زاکای ^[۵۰] است که به صورت زیر محاسبه می­گردد [۲۸] .
اگر فرض شود τ دارای توزیع یکنواخت در بازه­ی صفر تا باشد:
که:
برابر مینیم خطایی است که در کانال با نویز سفید گوسی می­توان به آن رسید.
تابع همبستگی خودی p(t) می­باشد.
بدست آوردن فرم بسته باند خطای زیو-زاکای به­راحتی امکان­ پذیر نبوده و اکثرا از شبیه­سازها برای محاسبه آن استفاده می­ شود و توضیح بیشتر آن در این متن نمی­گنجد.
اما همانگونه که عنوان شد از مهم­ترین فواید این باند پاسخ دقیق­تر آن در نسبت سیگنال ­به نویزهای پایین­تر، پهنای باند بالاتر، و استفاده از مدل کانال استاندارد IEEE 802.15.4a می­باشد.
به عنوان مثال باند خطا برای زمان رسیدن سیگنال در حالت ساده سیگنال به صورت تک مسیره و با حضور نویز سفید گوسی برای هر دو باند در زیر نمایش داده شده است.
شکل ۴- ۷: تغییرات باند پایین خطا زیو- زاکای و کرامر - رور به ازای تغییرات نسبت سیگنال به نویز [۲۷]
اگر فرض شود بازه­های نمونه­برداری از صفر تا باشد و هدف تخمین t1 باشد، بنابراین t1 دارای توزیع یکنواخت در بازه­ی صفر تا می­باشد. برای سایر پارامترها
}
می­توان از مدل کانال استاندارد IEEE 802.15.4a استفاده نمود.
این مدل همانگونه که در فصل دوم بررسی شد شامل چندین نوع متفاوت است که برای اکثر آن­ها خطای باند، خطای بدست آمده بر اساس باند زیو زاکای و باند کرامر رور است که در زیر رسم شده است.
شکل ۴-۸: باند پایین خطا زیو- زاکای و کرامر - رور به ازای تغییرات نسبت سیگنال به نویز در مدل کانال مختلف [۲۷]
آنچه درون این شکل مشخص است این است که برای سیگنال به نویزهای بالاتر از ۱۸ دسی­بل (برای CM4 CM5 ) محاسبه­ی باند خطا با بهره گرفتن از مشخصات استاندارد ۸۰۲.۱۵.۴a با باند خطای کرامر به جواب یکسانی منتهی می­گردد.
بنابراین اگر در سیستم­های مکان­یاب نسبت سیگنال به نویز به اندازه کافی بالا باشد برای سادگی محاسبه­ی باند خطا در ادامه می­توان از باند خطای کرامر به جای استفاده از باند خطای زیو-زاکای استفاده نمود و مطمئن بود که باند خطای هر دو در سیگنال به نویز بالا یکسان است.
مدل کردن اندازه ­گیری­ها:
اگر فرض شود جمع بایاس با توزیع یکنواخت و نویز حرارتی با توزیع گوسین یک عامل خطا در نظر گرفته شود تابع توزیع چگالی احتمال آن به صورت زیر نوشته می­ شود [۲۵] :

واضح است در صورتیکه اندازه ­گیری از گره مرجع iام با دید مستقیم انجام شود توزیع گوسین با میانگین صفر و واریانس می­باشد. با فرض اینکه در حالت کلی دارای میانگین باشد تعریف می­ شود:

اگر فرض شود مختصات گره هدف با تعریف شود:

در حالی که مختصات معلوم گره مرجع iام می­باشد. در صورتیکه اگر اندازه ­گیری انجام شده باشد که به صورت زیر مدل می­ شود:
در حالیکه مختصات معلوم گره مرجع iام می­باشد. در صورتیکه اگر اندازه ­گیری انجام شده باشد که به صورت زیر مدل می­ شود:

بنابراین دارای تابع چگالی احتمال زیر خواهد بود:

در شکل زیر تابع خطا به ازای d=15 m ورسم شده است [۲۳].

شکل۴‑ ۹: تابع توزیع چگالی احتمال با وجود بایاس با توزیع یکنواخت
باند خطای مکانی:
با توجه به تعریف قبلی مختصات مکانی گره هدف( و اندازه ­گیری انجام شده و نامعادله اطلاعات می­توان نوشت:

در صورتیکه J ماتریس اطلاعاتی فیشر^[۵۱] است که به صورت زیر تعریف می­ شود:

در حالیکه نمایانگر محاسبه­ی گرادیان یک تابع اسکالر نسبت به می­باشد. توجه شود که همچنین می­توان داشت:

بنابراین باند خطای مکانی تعریف می­ شود [۲۴] :