یکی از مهم­ترین این آزمون­ها، آزمون دیکی و فولر^[۶۳] است که در این آزمون معناداری ضریب  بوسیله ی مقادیر بحرانی توزیع تجربی دیکی و فولر مورد بررسی قرار می گیرد.
معادله ۲-۲۵)

اگر آماره t-student برای ضریب  از مقادیر بحرانی جدول دیکی و فولر کمتر باشد، آن گاه سری زمانی  ماناست.

۳ مدل زیر را دیکی و فولر افزوده^[۶۴] می­نامند:
معادله ۲-۲۶)

۲-۱۲) معیارهای اطلاعاتی^[۶۵] [۲۷]
استفاده از توابع خودهمبستگی و خود­همبستگی جزئی در مرحله­ تشخیص مدل، به دلیل آن که در داده ­های واقعی به ندرت الگوهای ساده دیده می­ شود، اغلب کمی دشوار است. بنابراین عموماً از معیارهای اطلاعاتی برای این منظور استفاده می­گردد که از جمله این معیارهای اطلاعاتی می­توان به معیار آکائیک^[۶۶]، شوارتر^[۶۷] و هنان کوئین^[۶۸] اشاره نمود.
این معیارهای اطلاعاتی، با در نظر گرفتن مربعات خط و جریمه­ی از دست دادن درجه­ آزادی، منجر به یافتن تعداد پارامترهای بهینه می­گردند.
۲-۱۳) شبکه های عصبی مصنوعی^[۶۹]
۲-۱۳-۱) نرون­های بیولوژیکی^[۷۰]
شبکه ­های عصبی مصنوعی از عناصر عملیاتی ساده­ای ساخته می­شوند که به صورت موازی در کنار یکدیگر عمل می­ کنند. این عناصر که از سیستم­های عصبی زیستی الهام گرفته شده ­اند، در تلاش­اند که به صورت ناپارامتریک، مغز انسان را شبیه سازی نمایند. [۳۷,۴]
در شبکه­ عصبی مصنوعی به این عناصر پردازشی، نرون­های مصنوعی می­گویند که این نرون­ها مشابه نرون­های بیولوژیکی مغز انسان می­باشند.
مغز انسان دارای نرون است که هر کدام از آن­ها دارای هزاران ارتباط با یکدیگر می باشند. هر نرون از ۳ بخش اصلی تشکیل می شود که عبارتند از: دندریت^[۷۱]، هسته و آکسون [۴۳]
نرون­ها از طریق دندریت­ها سیگنال­ها را از سایر نرون­ها دریافت کرده و از طریق آکسون­ها به دیگر نرون­ها ارسال می­ کنند. به ارتباط میان آکسون و دندریت، سیناپس^[۷۲] گفته می­ شود.[۶۲]
در واقع، ورودی^[۷۳] یک شبکه­ عصبی مصنوعی، مشابه ایمپلاس­های الکتروشیمیایی است که توسط دندریت­های نرون­های بیولوژیکی دریافت می­گردد و خروجی^[۷۴] نرون­های مصنوعی مشابه سیگنال­های خروجی از آکسون یک نرون بیولوژیکی است.

۲-۱۳-۲) سیر تاریخی شبکه های عصبی [۶۷,۱۸,۱۶]

برخی از پیش زمینه ­های شبکه های عصبی را می توان به اواخر قرن نوزدهم برگرداند.
چارلز بابیج^[۷۵] در سال ۱۸۳۴ اصول اولیه موتور تحلیل^[۷۶] را طراحی نمود. قابلیت بالای موتور تحلیل منجر به گسترش روزافزون آن گردید به طوری که در سال ۱۹۰۴ به تأسیس شرکت IBM منجر شد. گسترش روزافزون این موتورها از یک سو و مطالعات روان­شناسانی همچون ویلیام جیمز^[۷۷] و ایوان پاولوف^[۷۸] در زمینه­ یادگیری شرطی از سوی دیگر، زمینه ­های لازم برای مطالعات در شبکه ­های عصبی را فراهم نمود. اما مک کلوث^[۷۹] و والتر پیتز^[۸۰] در مقاله­ای تحت عنوان «حساب منطقی از عقیده درونی در فعالیت عصبی» اذعان داشتند که شبکه های عصبی در محاسبه­ی توابع حسابی و منطقی بسیار توانمند می­باشد که این امر باعث بروز دیدگاه­ های جدید در شبکه های عصبی گردید. گسترش کامپیوترهای الکترونیکی منجر به تشویق محققان به استفاده از کامپیوتر در شبکه ­های عصبی گردید و مکانیسم ارائه شده توسط دونالد هب^[۸۱] در یادگیری نرون­های بیولوژیکی مبنای ساخت اولین “نروکامپیوتر” قرار گرفت.
شبکه ­های عصبی در اواخر دهه­ پنجاه قرن بیستم، برای اولین بار توسط فرانک روزنبلات^[۸۲] به طور عملی مطرح گردید. روزنبلات در سال ۱۹۵۸ شبکه های عصبی پرسپترون^[۸۳] را معرفی نمود که این شبکه قادر به شناسایی الگوها از یکدیگر بود.
در سال ۱۹۶۰ برنارد ویدرو شبکه ­های عصبی تطبیقی خطی (آدالاین^[۸۴]) را با قانون یادگیری جدید مطرح نمود که از لحاظ ساختاری به شبکه­ روزنبلات شبیه بود. اما هر دو این شبکه­ ها توان طبقه بندی الگوهایی را داشتند که از نظر خطی قابل تمایزند و این امر به عنوان محدودیتی برای این شبکه­ ها تلقی می­گردید و از طرفی دیگر، آن­ها قانون یادگیری را برای شبکه ­های عصبی تک لایه مطرح نموده بودند. آن­ها هرچند توانستند شبکه ­های عصبی چند لایه را مطرح نمایند ولیکن، نتوانستند الگوریتم­های یادگیری شبکه تک لایه­شان را بهبود بخشند. ^[۸۵]
در سال ۱۹۷۲ تئو کوهونن^[۸۶] و جیمز اندرسون^[۸۷] هم­زمان و بدون اطلاع از یکدیگر شبکه ­های عصبی جدیدی که به عنوان عناصر ذخیره ساز عمل می­کردند را معرفی نمودند.
اما گسترش روزافزون علم کامپیوتر منجر به بروز ایده­های جدیدی در شبکه ­های عصبی گردید، به طوری که در سال ۱۹۸۲ ویلشا^[۸۸] و ون در مالزبرگ^[۸۹] مفهوم خودسازمانی^[۹۰] و شبکه ­های عصبی را مطرح کردند که نتایج آن­ها منجر به ارائه شبکه ­های عصبی دینامیکی، یعنی شبکه ­های عصبی بازگشتی شد^[۹۱] و در سال ۱۹۸۶ یکی از مهم­ترین تحولات در پژوهش­های شبکه ­های عصبی به وقوع پیوست. این امر “الگوریتم پس­انتشار خطا” بود که توسط رملهارت^[۹۲] و مک کلند^[۹۳] مطرح گردید. ورباس^[۹۴] در سال ۱۹۸۸ فهمید که شبکه ­های عصبی آموزش دیده با الگوریتم پس­انتشار خطا، نسبت به مدل­های سنتی، عملکرد بهتری از خود ارائه می­ دهند، بنابراین زمینه­ لازم برای مطالعات کاربردی بیشتر فراهم گردید.

۲-۱۳-۳) کاربرد شبکه ­های عصبی [۲۰]

از شبکه ­های عصبی برای پیاده­سازی توابع پیچیده در زمینه ­های مختلف از جمله تشخیص الگو، تشخیص هویت، طبقه ­بندی، پردازش صحبت، تصویر و سیستم­های کنترلی استفاده می­ شود.
برخی از کاربردهای شبکه ­های عصبی در علوم مختلف به قرار زیر می باشد:
هوا و فضا:
خلبان خودکار هواپیما با کارآیی بالا
شبیه سازی مسیر پرواز
و …
حمل و نقل:
سیستم راهنمای اتوماتیک
تحلیل گارانتی
سیستم ترمز کامیون
و …
بانکداری:
کاربردهای ارزیابی کارت­های اعتباری
ابزار خودکار خواندن چک و سایر اسناد
و …
الکترونیک:
پیش‌بینی ترتیب کد
طراحی مدارات مجتمع