و این که برای هر انتخاب از با , ، متغیر های تصادفی
مستقل از یکدیگر باشند.
-
- برای هر ، دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس است ، یعنی .
-
- در سرتاسر تقریباُ همه جا پیوسته است .(با احتمال ۱ هر مسیر آن پیوسته است ).[۴۳]
۱-۳-۲ تعریف ( حرکت براونی توأم با رانش ): گیریم یک حرکت براونی ساده است . در این صورت فرایند با تعریف
که در آن و ثابت هستند ، را حرکت براونی توأم با رانش می نامند . [۴۳]
۱-۳-۳ تعریف ( حرکت براونی هندسی): گیریم یک حرکت براونی استاندارد است . در این صورت فرایند با تعریف
که در آن و ثابت هستند، را حرکت براونی هندسی می نامند. [۴۳]
۱-۳-۴ تعریف ( فرایند گاما ): فرایند تصادفی را یک فرایند گاما گویند، هرگاه
۱) .
۲)نموهای آن مانا و مستقل از یکدیگر باشند.
۳) برای هر ، دارای توزیع گاما باشد.[۴۸]
۱-۴ مارتینگل ها
دانستن مفهوم مارتینگل در درک انتگرال تصادفی، اساسی است .
۱-۴-۱ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و خانواده ای از σ-جبرهایی است که همگی در ℱ قرار دارند. در این صورت را یک فیلتراسیون برای ℱ گویند هرگاه به ازای هر در حقیقت هر فیلتراسیون زنجیره ای غیرنزولی از اطلاعات است . هرگاه دنباله ای صعودی از σ- جبر های روی باشد، آن گاه این دنباله را نیز یک فیلتراسیون می نامند.[۴۳]
در بحث هایی که در اینجا مطرح خواهیم کرد ، معمولاً فیلتراسیون های مورد بحث در ارتباط با فرایندهای تصادفی هستند . به تعریف بعد توجه کنید .
۲-۴-۲ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و و یک فیلتراسیون برای این فضا، و یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورت فرایند را نسبت به فیلتراسیون سازگار گویند ، هرگاه
هر فرایند تصادفی مثل همواره نسبت به فیلتراسیون طبیعی تولید شده توسط یعنی
سازگار است .در حقیقت معنای سازگاری با فیلتراسیون این است که ها بیش از آن چه که در است حاوی اطلاعات نیستند .[۴۳]
۲-۴-۳ تعریف: گیریم یک فضای احتمال، یک فیلتراسیون برای این فضا ، و یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورت را نسبت به فیلتراسیون یک مارتینگل می نامند، هرگاه
-
- برای هر ، .
-
- نسبت به فیلتراسیون سازگار باشد.
-
- برای هر با ۰ داشته باشیم
یعنی تخمین خوبی برای به شرط معلوم بودن باشد.[۴۳]
۲-۴-۴ تعریف: گیریم یک فضای احتمال ، یک فیلتراسیون برای این فضا باشد. تابع را یک زمان توقف نسبت به فیلتراسیون گویند، اگر برای هر
باشد.[۸]
۱-۵ همگرایی متغیر های تصادفی
فرض کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی روی فضای احتمال باشد . برای این دنباله تعریف می کنند [۴۳]:
الف) همگرایی : می نویسیم اگر
ب) همگرایی در احتمال: می نویسیم اگر برای هر
پ) همگرایی در : می نویسیم ( ) اگر ، و
[۲۲].
ت) اگر برای هر ، تابع توزیع باشد. در توزیع به همگراست، اگر
وقتی که ( ). [۹]
ث) فرض کنیم یک دنباله اندازه احتمال روی باشد. در توزیع به همگراست ( می نویسیم )، اگر
وقتی که ، . [۹]
۱-۵-۱ قضیه: اگر و دو اندازه احتمال روی باشند، آن گاه اگر وفقط اگر
برای هر تابع پیوسته و کراندار . یا به طور معادل اگر برای هرتابع پیوسته کراندار
[۹].
۱-۵-۲ قضیه: در توزیع به همگرا است، اگر و فقط اگر ، برای هر
وقتی که تابع مشخصه ی متغیر تصادفیمی باشد .[۲۴]
۱-۶ فرایند پواسون[۲]
۱-۶-۱ تعریف: متغیر تصادفی پیوسته روی فضای احتمال با تابع چگالی احتمال
