درآنهاایجادمی کند،بلکه باعث تشدیداعمال بزهکارانه می گردد.امّاوقتی بزهکاران پا به سنّ گذاشته به آنچه که درنوجوانی درآرزویش بودندمیرسند،دیگرجرمی که به قیمت چیزی تمام شودبرایشان به عنوان یک پاداش محسوب نمی شود .(Kandel,1980;Goldstein,1990)بنابراین بزهکاران محدودبه سنّ ممکن است انگیزۀ خودرابرای ارتکاب جرم ازدست بدهند.پس اعمال بزهکارانۀ آنهاتحت کنترل عوامل تشویقی وتنبیهی است( .(Moffitt,1993تحقیقات همچنین نشان می دهدکه بزهکاری بسیاری ازاینگونه نوجوانان پس ازدوران دبیرستان،ازدواج باهمسری که دارای شعوراجتماعی است ویابه دست آوردن کاری تمام وقت،کاهش می یابد.( (Sampson&Laub,1990رویهمرفته،رده بندی دوگانۀMoffitt،تیوری ای رابرای توضیح دونوع بسیارمتفاوت بزهکاران نوجوان ارائه داده ونشان می دهدکه ازمیان بزهکاران نوجوانان،تعدادبزهکاران محدودبه سنّبسیاربیشترازآنهایی است که درتمام طول عمربزهکارباقی می مانند.Moffittهمچنین ادّعامی کندکه اینگونه بزهکاران نسبت به دسته دوّم شانس بیشتری برای ترک کارهای خودوبازگشتن به زندگانی همراه باآداب ورسوم اجتماعی دارند.برنامه های تعلیم مهارتهای اجتماعی قدیم براین اساس بودکه رفتارهای پرخاشگرانه وبزهکارانه،تنها،نتیجه نقص وکمبوداین مهارتهامی باشد .(Freedman et al.1978)بسیاری ازاینگونه برنامه هابه منظورآموزش مهارت های اجتماعی ومهارت های ایجاداعتمادبه نفس،برای کودکان ونوجوانان پرخاشگروبزهکارارایه گردیده اند(Goldstein et al.1978;Elderetal.1979;Lee et al.1979).آنهاازالگوبرداری،تعلیم وواکنش برای آموزش دادن رفتارهای خاصّی مانندهمکاری وکمک ویاازلبخندزدن برای افزایش سازگاری اجتماعی کودکان بهره می گیرند.این تحقیقات نشان می دهدکه فراگیری مهارت های جدید،ازطریق آموزش هایرفتاری صورت می پذیرد امّاشواهداندکی درزمینۀ کاهش همزمان رفتارهای ویرانگرانه وپرخاشگرانه وجود دارد.( (Feindler et al.1986روش جدیدتردیگر،آموزش یک سری از مهارت های حلّ مشکلاتاجتماعی به کودکان است.یکی ازمثالهی خوب دراین زمینه،آموزش حل مشکلات فکری بین افرادمی باشد(توسط shureوspivack ).این روش براساس تحقیقی است که نشان دهندۀ رابطۀ میان این نوع آموزش (Icps)وسازگاری دوران کودکی می باشد. Shureوspivack،شش مهارتIcps مهم را ارائه کردند:الف:یافتن راه حل های جایگزین (مانندپیداکردن راه حل های مختلف برای یک مشکل)ب:فکر کردن راجح به پیامدهای یک رفتار(مثلاً توانایی فکر کردن دربارۀ اثرات یک عمل روی خودشخص وسایرین)پ:تقویت تفکّرهدف دار(مثلاًتقویت مراحل پی درپی حلّمشکلات) ت:تقویت تفکّراجتماعی- علّی(مثلاًدرک این مساله که رفتارواحساسات فردمتقابلاًروی دیگران تأثیرمی گذارد)ج:حساسیّت نسبت به مسایل(مثلاًآگاهی ازانواع مسایلی که می تواند در یک موقعیّت خاص بروزکنند)د:جهت گیری پویا(مثلاًدرک اینکه رفتارهاممکن است منعکس کنندۀ انگیزه هایی باشندکه همیشه به راحتی قابل تشخیص نیستند).این برنامه های تعلیم مهارت های حل مسایل به جای تمرکزبرروی تنها آموزش مهارت های خاص ومجزّا که ممکن است در موقعیّت های حقیقی زندگی بکارنیایند،درکودکان مهارت های کلی ومفهومی را که بیشتر به نیازهای یک کودک ناسازگارارتباط دارد،مآموزند.مهارت هاییکه در این برنامه ها آموزش داده می شوند،براساس تحقیقاتی هستندکه روی نقایص اجتماعی- فکری کودکان پرخاشگرصورت گرفته اند.کودکان وجوانان بزهکاروپرخاشگرانه رابرمیگزینندوتصورمی کنندکه پرخاش نتایج مثبت دارد.آنها همچنین فاقدحسّ همدلی با کسانی هستند که موردآزارواذیت شان قرارمی گیرند ونیزدرگیری شان رابا سایرین به وسیله ناچیزنشان دادن پرخاشگری شان توجیه کرده ویاتقصیررابه گردن دیگران می اندازند.آنهاهمیشه هرگونه هیجان وبرانگیختگی را،عصبانیت وخشم میپندارند.تحقیقات نشان می دهد که آموزش های همرا باعوامل اجتماعی- فکری درجلوگیری ازرفتارهای نادرست وکاهش بزهکارهاورفتارهای خشونت آمیزدرآینده مؤثرترمی باشد( .(Guerra&Slaby,1990;Lochman,1992همچنین،دریک بررسی جامع،vennard(1997)به این نتیجه رسیدکه برنامه های که بهترین نتایج رابه همراه داشتند،دارای تکنیک های رفتاری بعلاوه آموزش اجتماعی وتفکر اجتماعی بودندکه ازجمله آنها می توان به آموزش نوجوانان بزهکاردرکنترل کردن خوداشاره نمود.علاوه بربررسی تحقیقات جداگانه،vennard،یافته های مختلف راازتحقیقات mete-analgtic بایکدیگرترکیب کرد.این یافته هانیزبه دستاوردهای فکری-رفتاری،چندهنجاری وسازمان یافته اشاره داشته،درکاهش میزان ارتکاب جرم مؤثرترین محسوب می شوند.سایراصول برگرفته شده ازکتاب های تحقیقی ((چه چیزی مؤثراست))،شامل عوامل ویژه ای است که مستقیماًبه رفتاربزهکارویکپارچگی برنامه کمک می کند.

نیازبه ارزیابی قانونمندآموزش مهارت های حلّ مسایل درسنگاپور
هم اکنون،تنهادوبرنامۀ آموزش مهارت های اجتماعی ومهارت های حلّ مسایل درسنگاپوروجوددارد(مانندبرنامۀ"واسطۀ همسالان"و"برنامۀ مهارت های زندگی")که در موردکودکان وجوانان پرخاشگر وبزهکاربه کار گرفته می شود.درسال ۱۹۹۶،برنامۀ"واسطۀ همسالان"دردبیرستان های انتخاب شده(مقاطع۱۰-۷)مورداستفاده قرارگرفت تاروش حلّ اختلاف به طور دوستانه،به عنوان راهی مؤثردرجلوگیری ازخشونت وسایراشکال بزهکاری تقویت گردد. این برنامه،دانش آموزان رابامهارت های اجتماعی آشنا می سازدتاآنهابتواننددرگیری هاشان راحل وفصل کنند ونیزبه آنهاتفهیم میکندکه برای حلّ اختلافات شان درمدرسه،مسؤل هستندوهمچنین این روش واسطه ای رابه عنوان جایگزینی برای روش های حلّ اختلاف قدیمی،گسترش می دهد."مهارت های زندگی “،برنامه ای است که شامل یک کلاس آموزشی تقریباً یک ساعته می باشد وهفته ای یکبارنیزبرگزارمی شود.این برنامه هم برای سطوح ابتدایی (مقاطع۶-۱)وهم متوسطه(مقاطع۱۰-۷)بوده ودرآن برروی حل ّمسایل وکنترل خشم تأکیدمی گردد( .(Ministry of Education,1997a,bمتاسفانه هیچ کدام از این دوبرنامۀ مذکورتاکنون بطورقانونمندموردبررسی وارزیابی قرارنگرفته اند.بنابراین ارزیابی آنهاامری بسیارمهم می باشدچراکه درغیراینصورت کودکان ونوجوانان تحت آموزش هایی قرارمی گیرندکه اثرات آنهامشخص نمی باشد(Durlak,1995 ( . cavell وhughes (2000)،مساله ای بسیارمهم راعنوان می کنند وآن میزانی است که درمان هاوآموزش ها درمورداکثرافرادکاربرددارد.برای حصول اطمینان ازاینکه این برنامه هاوآموزش هاقابل اجراومرتبط با افرادموردنظرمی باشند،این تحقیق کارایی واثربخشی برنامۀ تعلیم مهارتهای حلّ مسایل(spssT )رابااستفاده از بزهکاران کودک ونوجوان سنگاپوری،مورد بررسی قرارمی دهد.مدلspssTکه شامل بخش هایی برای آموزش وتسهیل یادگیری مهارت های ضروری به منظورجبران نقایص وکمبودهای اجتماعی- فکری می باشد،اغلب درکودکان پرخاشگروبزهکاریافت می شود.برخی ازاین نقایص عبارتنداز:گرایش به الگوهای خشن درمحیط اطراف ونگرش خصومت آمیزنسبت به دیگران،به ویژه درموقعیت های مهم(Asarnow&Callan,1985;Dodge et al.1986 (. بعلاوه،کودکان پرخاشگردرحل ّمسایل اجتماعی به شدت دچارمشکل می باشند،بعنوان مثال آنهابرای حلّ مسایل میان خودوسایرین راه حل هایی کم اثرترولی تهاجمی تررابرمی گزینند( .(Slaby&Guerra,1988;Guerra&Slaby,1989آنهاآشکارامیزان پرخاشگری خود راناچیزنشان داده سعی دربیشترجلوه دادن توانایی خودنسبت به همسالانی دارندکه پرخاشگرنمی باشند(Lochman,1987; tlughes et al,1997 (.
method (روش)
صدوپنج بزهکارنوجوان دراین تحقیق شرکت داشتند.سنّ تمام آنهاکمترازشانزده سال وجرم شان تقریباً جزیی وشامل اعمالی ازقبیل دزدی،دزدی ازمغازه ها،تخریب وضرب وشتم بود.دادگاه اطفال سنگاپوردربرخوردبا آنهاشیوه های گوناگونی داردمانندگذاشتن این اطفال ونوجوانان دریک اطاق یا مؤسسات مورد تأییددیگربه منظور بازپروری وباصدورآزادی مشروط ،مجازات نقدی،برگزارکردن انجمن اولیاء وسایربرنامه هایی که شامل مشاورۀ انفرادی،گروهی وخانوادگی می باشد.تمام شرکت کنندگان دراین تحقیق نوجوانانی بودند که از سوی دادگاه،مشاورۀ انفرادی وخانوادگی برایشان درنظرگرفته شده بود.بویژه همۀ آنهااز juveniles channeled برای Gp انتخاب شده بودند.این دسته،افرادی بودند که جرم شان ازسوی دادگاه اطفال،تقریباًخفیف تشخیص داده شده بود(همانطورکه قبلاًمثال زده شد).نوجوانانی که جرم شان به مواد مخدر ارتباط پیدا می کند ازGp حذف ودرعوض به یک برنامۀ دیگرسوق داده می شوند که به این گونه بچه ها ونیازهاشان مربوط است.این خدمات مشاوره ای گوناگون ازسوی چندین مراکز ومؤسسات اجتماعی واقع دربخش های مختلف سنگاپورارایه می گردد.از تمام شرکت کنندگان خواسته شدتابارضایت در این تحقیق حظوریابند.این نوجوانان که بایدتحت مشاوره قرار می گرفتندبه دو گروه تقسیم شدند(عدّه ای در گروه intervention condition وعدّۀدیگردرگروه wait-list control condition قرارگرفتند).ازاین تعداد،۶۰ نفربرای گروه آزمایش و۶۰ نفربرای گروه کنترل درنظرگرفته شدند:ازآن جا که پیش بینی تعداد افراددستگیرشده توسط پلیس وفرستاده شده برای مشاوره در هر هفته غیرممکن بود،زمان زیادی صرف انتظاربرای عضو جدیدگرفتن دراین تحقیق می شد.به دلایل اخلاقی وقانونی،صرف زمان طولانی میان دستگیرشدن وفرستاده شدن برای مشاوره،نامناسب بود.بنابراین به دلیل محدودیّت های عملی،انتخاب وتعیین تصادفی این نوجوانان کاملاًامکان پذیر نبودبدین جهت،۵۸ نفراوّل در گروه آزمایش و۴۷ نفربعدی در گروه کنترل قرارگرفتند.یک هفته پیش ازشروع برنامه spssT،آنهامورد pre-treatment ویک هفته پس ازآن نیزمورد post-treatment قرارگرفتند.میانگین سنّی در گروه آزمایش،۷۱/۱۴(انحراف معیار=۹۶/۰)ودرگروه کنترل،۵۰/۱۴(انحراف معیار=۲۸/۱)بود.
جدول ۱ : ویژگی های جمعیّتی بزهکاران نوجوان
گروه آزمایش ) تعداد=۵۸ ( گروه کنترل ) تعداد=۴۷ (
متغیّر N (%) N (%)
قومیّت
چینی ۳۲ (۵۵.۲) ۲۰ (۴۲.۶)
هندی ۴ (۶.۹) ۲ (۴.۳)
مالزیایی ۲۲ (۳۷.۹) ۲۳ (۴۸.۹)
سایرین ۰ ۱ (۲.۱)
«جنس»
مذکّر ۴۷ (۸۱) ۲۵ (۵۳.۲)
مؤنث ۱۱ (۱۹) ۲۲ (۴۶.۸)
پدریامادرمجرّد ۱۵ (۲۵.۹) ۱۱ (۲۳.۴)
«سطح تحصیلات مادر»
تحصیلات عالیه ۲ (۳.۴) ۵ (۱۰.۶) تحصیلات متوسّطه ۲۷ (۴۶.۶) ۱۵ (۳۱.۹) پایین ترازدبیرستان ۱۷ (۲۹.۳) ۸ (۱۷.۱)
داده های نامعلوم ۱۲ (۲۰.۷) ۱۹ (۴۰.۴)
دراین دو گروه،به غیر از متغیرجنسیت،تفاوت قابل ملاحظه ای دیگری وجود نداشت.همچنین تعدادپسرهادرگروه آزمایش بیش ازتعداددخترهابود.درجدول ۱،اطلاعات جمعیّتی بیشتردربارۀ این شرکت کننده هاوجوددارد.اندازه گیری هاپرسش نامه های استفاده شده دراین تحقیق،شامل ۳۴سؤال بودکه به پنج قسمت تقسیم می شد:پرخاشگری فیزیکی(هشت سؤال)،پرخاشگری لفظی(پنج سؤال)،عصبانیت(هفت سؤال)،دشمنی(هشت سؤال)وپرخاشگری غیرمستقیم(شش سؤال).امتیازکلی نیزازجمع تمام نمره هابه دست می آمدهرپرسش نامه (AQ)،یکی ازویژگیهای مربوط به پرخاشگری راتوضیح می داد.ازشرکت کننده هاخواسته شدتاسؤالات راازشمارۀ۱(اصلاًمانندمن نیست)تا۵(کاملاًمانندمن)،ارزیابی کنند.چون این پرسش نامه هادرآمریکاارایه گردیده بود،بایدمناسب وموثق بودن آن(reliabititg)برای سنگاپوری هانیزچک می شد.پس ازبررسی نیزreliabilitg بالایی به دست آمد.(۸۸/۰=cronbach alpha coefficient ).
گروه آزمایش
نوجوانان بزهکاربه مدت هشت هفته دربرنامۀspssT شرکت داشتند.شرکت دراین برنامه دررأس قرارداشت وبرای اطمینان ازاین بودکه،سایربرنامه های آموزشی وتربیتی که ازسوی دادگاه تعیین می شدبراین تحقیق تأثیری نمی گذارند.spssTدرTampines familg service center(TFSC) برگزارمی شد.این مکان یکی ازموسسات محلی درسنگاپوروزیرنظردادگاه اطفال بود.این برنامه بطورکلی شامل هشت جلسه دوساعته بود.هرگروه spssTازهشت نوجوان بزهکارتشکیل می شد.آموزش دهنده هانیزمددکاران ومشاوران TFSCبودند.آنهاطبق یک برنامه جامع که توسط (۲۰۰۰)Angارایه گردیده بودعمل کرده وقبل ازاین که شروع به تعلیم آن نوجوانان کنند،خودشان به مدت چهارساعت توسط محقق آموزش می دیدند.فعالیت های گروهی ودرس های spssTازطریق راهنماهاصورت می گرفت تااطمینان حاصل شودکه تمام مراحل آموزشی بصورت یکپارچه انجام می شوند.درسهای SPSST،شامل مهارت هایی بود که تفاوت میان کودکان بزهکاروپرخاشگروکودکان غیربزهکاروغیرپرخاشگررامی نمایاند.این مهارت ها عبارت بودنداز:حسّ همدلی،توجه دقیق به الگوهای اجتماعی ومحیطی،درک واقعی ودرست نیت های دیگران وحل ّمسایل.تکنیک های گوناگونی نیز برای آموزش این مهارت هابه کار گرفته می شد،مانند:بازی های فکری،داستان،نقش بازی کردن وبحث های گروهی.
گروه کنترل
گروه کنترل شامل آن دسته از نوجوانانی بود که به تازگی ازسوی دادگاه اطفال برایشان مشاورۀانفرادی وخانوادگی در نظرگرفته شده بود وحال منتظر بودندتاتحت آموزش های مختلف ارائه شده توسط مراکزخدمات خانواده(Familg service ceters)درسنگاپورقرارگیرند.این برنامه های آموزشی هر سه – چهارماه یک باروآنهم درصورت حظورداشتن آموزش دهنده ها برگزارمی شد.این نوجوانان مانندشرکت کننده های گروه آزمایش موردارزیابی pre-treatmentوpost-treatment قرارمی گرفتند.
نتایج
سؤال این تحقیق بااستفاده از یک عامل بین دوگروه ویک عامل داخل دوگروه که جنسیت وسطح تحصیلات والدین راکنترل می کرد،بررسی شد.این بررسی به این منظوربودکه آیاگروه آزمایش نسبت به گروه کنترل امتیازبهتری کسب می کنندیاخیر.میانگین تنظیم شدۀتمام متغیرهابرای هردوگروه درجدول ۲نشان داده شده است.این میانگین هانشان می دهندکه پس ازکنترل جنسیّت وسطح تحصیلات والدین،نوجوانان بزهکاردرگروه آزمایش بهبودبسیاربیشتری رانسبت به گروه کنترل نشان دادند(نمرات آنهادرpost-treatment بهترازpre-treatment بود)
{یادداشت مترجم:وقتی می خواهندروی یک عدّه آزمایشی راصورت دهندتادربارۀ متغیّرموردنظرخودتحقیق کنند،قبل ازآنکه آن متغیّرراروی گروه امتحان کنند،یک امتحان کلی ازآنهابه عمل می آورندوپس از ارائه متغیّرموردنظرمجدداً آنهاراامتحان می کنندتاببینندکه آیامتغیّرشان روی گروه تأثیری داشته یاخیر.به امتحان وّلی،pre-treatmentوبه دومی post-treatmentمی گویند}
امیانگین های تنظیم شده برای متغیّرهای پرخاشگری درقبل ازآزمایش وپس ازآن : جدول ۲
کنترل آزمایش زمان های آزمایش و اندازه گیری ها
«قبل از آزمایش»
۰۶/۱۵ ۳۱/۱۸ پرخاشگری فیزیکی
۰۶/۱۱ ۵۷/۱۲ پرخاشگری لفظی
۰۰/۱۶ ۸۲/۱۶ خشم
۳۲/۲۰ ۶۵/۱۹ خصومت
۲۹/۱۳ ۵۹/۱۴ پرخاشگری غیرمستقیم
«پس از آزمایش»
۰۳/۱۴ ۷۱/۱۶ پرخاشگری فیزیکی
۹۴/۱۰ ۳۵/۱۱ پرخاشگری لفظی
۱۲/۱۵ ۷۸/۱۵ خشم
۵۲/۱۹ ۴۶/۱۷ خصومت
۷۱/۱۲ ۶۹/۱۲ پرخاشگری غیرمستقیم
۸۰/۷۲ ۹۸/۷۱ امتیاز کلّی پرخاشگری
آزمایش مشابهی براساس متغیّرهای دیگرصورت پذیرفت تااثرآزمایش هایSPSSTبررسی گردد.ازمیان زیرمجموع ویاسؤالات مختلفی که دربارۀ پرخاشگری بود(پنج قسمتی که گفته شد)،گروه آزمایش که تحت SPSSTقرارداشتنددرمقایسه باگروه کنترل امتیازکمتری درقسمت پرخاشگری مستقیم به دست آوردند(که نشان می داددرپرخاشگری شان بهبودحاصل شده است).شکل ۲،میانگین های تنظیم شده رابرای هردوگروه ونیزبه صورت نموداری،بهبودامتیازات گروه آزمایش راازpre-treatmentبه post-treatment ،نسبت به گروه کنترل نشان می دهد.درمتغیّرهای پرخاشگری دیگر،هیچ تفاوت قابل ملاحظه ای دیده نشد.
تشریح مطالب
آموزش مهارت های حلّ مسایل،یکی ازچندین برنا مه هایی است که پیش ازهمه به مشکلات رفتاری واجتماعی- فکری درکودکان وجوانان پرخاشگرمی پردازد.kazdin،پس ازبررسی تأثیرگذاری این برنامه،اظهارداشت که آموزش این مهارت ها رفتارهای پرخاشگرانه راکاهش می دهد.
جدول خلاصه شده برای بررسی دوجانبۀ انحراف معیارپرخاشگری کلّی : جدول ۳
F میانگین مربع میزان آزادی حاصل جمع مربع ها منشأ گوناگونی
«بین دو مورد آزمایش »
۴۸/۰ ۸۳/۲۲۵ ۱ ۸۳/۲۲۵ (کنترل / آزمایش ) گروه
۰۲/۰ ۶۸/۱۰ ۱ ۶۸/۱۰ بازگشت
۰۰/۴۶۷ ۶۸ ۷۵/۳۱۷۵۵ خطا
«دربین خودمواردآزمایش»
۰۴/۱۱ ۰۰/۷۲۱ ۱ ۰۰/۷۲۱ زمان
۸۸/۵ ۰۱/۳۸۴ ۱ ۰۱/۳۸۴ گروه توسط زمان
۰۷/۰ ۸۳/۴ ۱ ۸۳/۴ بازگشت
۲۹/۶۵ ۶۸ ۶۵/۴۴۳۹ خطا

محورهای چشم انداز ملی قطر -۳
چشم انداز ملی قطر بر چهار محور تکیه دارد:
توسعه انسانی: توسعه تمامی مردم کشور برای کسب توانایی حفظ جامعه ای کامیاب؛

توسعه اجتماعی : جامع ه ای عادل و پردغدغه در زمین ۀ استانداردهای بالای اخلاقی و توانایی ایفای نقشی برجسته در مشارکت های بین المللی برای توسعه؛
توسعه اقتصادی: توسعۀ اقتصادی متنوع و رقابتی که قادر به برآوردن نیازها و تضمین استانداردهای بالای زندگی برای تمامی مردم برای حال و آینده باشد؛
توسعه محیط زیست: مدیریت محیط زیست به گون ه ای که نظم و سازگاری ای میان رشد اقتصادی، توسعه اجتماعی و حفاظت از محیط زیست وجود داشته باشد.
محور اول توسعه انسانی:تاکنون پیشرفت قطر عمدتا وابسته به استخراج و بهره برداری منابع نفت و گاز این کشور بوده است؛ اما منابع هیدروکربنی کشور، سرانجام پایان خواهد یافت. موفقی ت اقتصاد ی آینده به طور فزاینده ای به توانایی مردم قطر در ایجاد یک نظم ب ین الملل ی جدی د که دانش محور و به شدت رقابتی است، بستگی خواهد داشت. برای رویارویی با ای ن چالش، قطر درحال تأسیس و ساخت سیستم های پیشرفتۀ آموزشی و سلامت و نی ز مشارکت مؤثر قطر یها در نیروی کار است. به علاوه، قطر به تکم ی ل نی روی کار خود از طر ی ق جذب کارگران خارجی دارای شرایط لازم در تمامی زمینه ها ادامه خواهد داد.
آموزش و پرورش یکی از اصلی ترین محورهای پیشرفت اجتماعی است. دولت بای د برای ضمانت، تأمین و تلاش در راستای ترویج آن اقدام کند. قطر ایجاد یک سیستم آموزشی مدرن و در سطح جهانی را مورد هدف قرار داده است. این سیستم باید دانش آموزان را با یک آموزش و پرورش عالی که قابل مقایسه با سیستم های تراز اول جهانی باشد، تأمین کند. این سیستم به شهروندان خود آموزش عالی، فرصت هایی برای توسعۀ قابلیت ها و آماد هسازی آنها برای موفقیت در ی ک دنی ای درحال تغییر با الزامات فنی پیچیده و فزاینده را ارائه خواهد داد. این سیستم همچن ین تفکر تحلیلی و انتقادی و نیز خلاقانه و نوآورانه را تشویق کرده و پیوستگ ی اجتما عی را ارتقا خواهد داد و برای ارزش ها و میراث جامعۀ قطر احترام قائل خواهد ش د و از روابط سازنده با ملل دیگر حمایت خواهد کرد.
محور دوم توسعه اجتماعی :
دولت قطر به دنبال پیشرفت و توسعۀ ابعاد اجتماعی جامعه خود از طریق تربیت و پرورش شهروندان قطری به گونه ای است که قادر به مقابله مؤثر و انعطاف پذ یر با احتیاجات سن ی خود ب وده و نی ز از طری ق حفظ خانواده ای قو ی و منسجم که از پشتیبانی، مراقبت و حمایت اجتماعی برخوردار باشند. برای زنان نقشی برجسته در تمام ابعاد زندگی به ویژه در قالب مشارکت در تصمیم گیر یه ای سیاس ی و اقتصا دی درنظر گرفته شده است.
قطر به دنبال ساخت جامعه ای سالم، ایمن و پ ای دار براساس نهادها ی تأثیرگذار خواهد بود. این کشور، بردباری، خیرخواهی، گفت وگوی سازنده و باز بودن نسبت به سایر فرهنگ ها را در قالب مفهوم مشخصه عرب ی و اسلا می خود ارتقا خواهد داد . به علاوه، شهروندان خود را با نیازهای اولی هشان تأمین و فرصت ها یی برابر را بر ای آنها تضمین خواهد کرد.
قطر همچنین نقش سازنده و مهم منطقه ای خود را در چهارچوب شورای همکا ری خلیج فارس، اتحادیه عرب ۱ و سازمان کنفرانس اسلامی ۲ ارتقا خواهد داد. قطر به عنوان یک عضو متعهد در جامعه بی نالمللی، برای دستیابی به امنیت و صلح داخلی تلاش خواهد کرد و تعهدات بین المللی خود را به طور کامل انجام خواهد داد. در صورت تحقق توسعۀ اجتماعی، دستاوردهای زیر قابل دستیابی می باشند:
الف مراقبت ها و حمایت های اجتماعی خانواده های منسجم و قوی که علاقه مند به اعضای خود هستند و ارزش های اخلاقی و مذهبی و ایدئال های انسانی را حفظ می کنند. سیستم حمایتی اجتماعی مؤثر برای تمام مردم قطر که حقوق شهروندی آنها را تضمین کند، به مشارکت آنها در توسعه جامعه شان ارج نهد و درآمدی کافی برای یک زندگی سالم و باعزت را تضمین نماید.
ب ساختار اجتماعی صحیح نهادهای عمومی مؤثر و سازمان های قوی و فعال جامعه مدنی که: میراث ملی قطر را حفظ کند و ارزش ها و ویژگی ها ی اسلام ی و عربی را ارتق ا دهد؛ خدمات مطلوب ممتاز که احتیاج ها و خواسته های افراد شاغل را پاسخ گو باشد ارائه دهد؛پایه گذار جامعه ای امن و پایدار باشد که براساس اصول عدالت، برابری و حکومت قانون عمل می کند؛قابلیت های زنان را بهبود و ارتقا دهد و آنها را برای مشارکت کامل در وجوه سیاسی و اقتصادی، به ویژه در نقش های تصمی مگیری قدرتمند سازد؛روحیۀ بردباری، گف توگوی سازنده و باز بودن نسبت به سایرین در سطوح مل ی و بین المللی را توسعه دهد.
ج همکار یهای بی نالمللی قطر به ساخت نقش خود در جامعه بین المللی در زمینه های زیر ادامه خواهد داد:
نقش فزاینده منطقه ای از نظر اقتصادی، سیاسی و فرهنگی، به ویژ ه در شورای همکاری خلیج فارس، اتحادیه عرب و سازمان کنفرانس اسلامی؛تقویت تبادل فرهنگی به طور اخص با کشورهای عربی و به طورکلی با سایر ملل؛ ضمانت و حمایت از گفت وگو میان تمدن ها، بهبود همزیستی میان مذاهب و فرهنگ های مختلف؛همکاری در راستای صلح و امنیت بین المللی از طریق ابتکارهای سیاسی و مساعدت های توسعه ای و بشردوستانه
محور سوم توسعه اقتصادی :
اقتصاد پویا و باطراوت، شالوده کامیابی اقتصادی و پیشرفت های پای دار در معاش افراد است. حفظ کامیابی برای بلندمدت احتیاج به مدیریت هوشمندانۀ منابع پایان پ ذیر دارد تا بتوان در دسترس بودن ابزار و وسا یل کاف ی برا ی نسل ه ای آینده برای تأم ین خواسته هایشان را تضمین کرد. این مدیریت باید به کارگیری بهینۀ ای ن منابع را تأم ین
کند و توازنی میان ذخایر و تولی دات و می ان متنوع سا زی اقتصاد ی و کاهش ذخا یر غیرتجدیدشونده هیدروکربنی ایجاد کند.
منابع فراوان هیدروکربنی قطر می تواند برای محقق ساختن توسعۀ پایدار برای تمام افراد جامعه به کار رود. تبدیل کردن این دارایی های طبیعی به ثروت مالی، ابزا ری برای سرمایه گذاری در زیرساخت های در سطح بین المللی، ایجاد سازوکارهای مؤثر برای ارائه خدمات عمومی، ایجاد نیروی کار بسیار ماهر و مولد و حم ای ت از توسع ۀ کارآفر ینی و ظرفی تهای نوآوری را فراهم می آورد. چنانچه این دستاوردها حاصل شوند، هرکدام در جای خود، بستر وسی عتری برای متنوع سازی اقتصاد قطر و تبد یل ای ن کشور به ی ک قطب منطقه ای دانش و فعالی تهای خدماتی و صنعتی ارزشمند فراهم می آورند. با ا ی ن وجود، چالش ها نباید دست کم گرفته شوند.
محور چهارم توسعه محیط :
دولت قطر به دنبال حفاظت از محیط زیست منحصر ب هفرد و طبیعت غنی خود به عنوان یک موهبت الهی است. بر این اساس توسعه با مسئولیت و ملاحظ ه مربوط به تعادل نیازهای رشد اقتصادی و توسعۀ اجتماعی با شرایط حفظ محیط زیست انجام خواهد شد.
از آنجا که قطر مجبور به حل مسائل محیط زیست منطقه، نظیر تأثیر کاهش منابع آبی و هیدروکربنی و اثرات آلودگی و فرسایش محیط زیست و نیز مسائل زیست محیطی بی نالمللی نظیر اثر بالقوه گرم شدن زمین بر سطوح آب در قطر و در ضمن بر توسع ۀ شهرنشینی ساحلی است، محور محیط زیست اهمیت فزاینده ای خواهد یافت . برآورد شدت خطرات و مقابله با تغیی رات پ یش بین ی شد ه، احتی اج به تجه ی ز ظرفی تها و هماهنگی تلاش ها برای حل مشکلات پیش رو دارد.
دولت باید محیط زیست و تعادل طبیعت خود را ب همنظور دستیابی به توسعۀ پایدار و فراگیر برای همۀ نسل ها حفظ کند. [قانون اساسی] تعادل میان نیازهای توسعه ای و حفظ محیط زیست پیامد توسعه محیط زیست در این کشور خواهد بود که دارای ابعاد زیر می باشد:
حفاظت از محیط زیست شامل هوا، زمین، آب و تنوع زیستی از طریق: جمعیتی آگاه از مسائل محیط زیست که حفاظت از میراث طبیعی قطر ودولت های همسایه را ارج می نهد؛یک سیستم حقوقی سریع و جامع که از تمام عناصر محیط زیست حمایت می کند و به چالش های پیش آمده به سرعت پاسخ دهد؛سازمان های زیست محیطی پیشرفته و کارآمد که آگاهی عمومی دربار ه حفظمحیط زیست را ایجاد و تقویت و استفاده از فناور یهای سازگار با محیط زیسترا تشویق کنند. این سازمان ها همچنین مسافر تهای داخلی با هدف افزایش آگاهی را فراهم خواهند کرد، از ابزارهای برنامه ریزی محیط زیست استفاده خواهند کرد و تحقیقاتی در زمینه محیط زیست صورت خواهند داد.
فصل چهارم: منابع متنوع انرژی در قطر
با توجه به انچه در فصل پیش در مورد ساختار سیاسی،اجتماعی،اقتصادی و دفاعی قطر ذکر شد و عطف به موضوع این تحقیق در مورد تاثیر انرژی بر سیاست خارجی قطر جا داردبه صورت کامل در یک فصل به موضوع انرژی در قطر پرداخته شود.مطالعات فصل پیش نشان داد نه ساختار اقتصادی و نه توان دفاعی و نه تولید اقتصادی خاص در حوزه صنعت و کشاورزی هیچ کدام توان تاثیر گذاری برای شکل گیری چنین سیاست خارجی پویایی را ندارند .به همین دلیل کلید فهم سیاست خارجی قطر را بایستی در توان انرژیک این کشور جستجو کرد.این که نسبت به وضعیت جهان اوضاع انرژی در قطر به چه صورت می باشد و چه برنامه های در دستور کار این کشور کوچک قرار دارد؟موضوعاتی است که بدان پرداخته خواهدشد.
لذا در ادامه مبحث در این فصل ضمن بررسی وضعیت انرژی و مقایسه آن با قطر بخصوص در حوزه گاز و توان گازی ایران و روسیه به تاریخچه انرژی در قطر اشاره خواهد شد.سپس میزان ذخایر گازی و نفتی این کشور و دیگر مسائل مربوط به آن مورد بحث و بررسی قرار خواهد گرفت.
بند اول: وضعیت انرژی در جهان
در انتهای سال ۲۰۰۱ میلادی مشخص گردید که ذخائر ثابت شده نفت در جهان مجموعاً ۱۰۲۷میلیارد بشکه نفت است، چرا که اکتشافات جدید در نقاط مختلف و از جمله دریای خزر، ۱۱میلیارد بشکه نفت به ذخائر پیش بینی شده در سال ۲۰۰۰ میلادی اضافه نمود. ۱ این آمار در انتهای سال ۲۰۰۶ میلادی به ۱۲۰۸ میلیارد بشکه بالغ گردید که نشان می دهد که در ذخائر ثابت شده جهان تغییر چندانی رخ نداده است . با توجه به این که مصرف نفت از سال ۲۰۰۰ میلادی که حدود ۷۵ میلیون بشکه در روز بوده است به ۷۷ میلیون در سال ۲۰۰۱ میلادی، ۷۸ میلیون در ۲۰۰۲ میلادی، ۸۰ میلیون در ۲۰۰۳ میلادی، ۸۲ میلیون در ۲۰۰۴ میلادی، ۸۳ میلیون در ۲۰۰۵ و نهایتاً به ۷۱۹/۸۳میلیون بشکه در روز در سال ۲۰۰۶ میلادی رسیده است .کاملاً روشن است که تقاضا در حالی اضافه شده است که حجم ذخائر ثابت است . در بخش تولید نیزدر حالیکه در سال ۲۰۰۰ میلادی مجموع تولید جهانی نفت خام ۷۵ میلیون بشکه در روز بوده است متوسط آن در سال ۲۰۰۶ میلادی به ۶۸۳/۸۱ میلیون بشکه در روز رسیده است که کسری مقدار عرضه به تقاضا را نشان می دهد(نشریه آماری شرکت۳BP:2007 ، ) است، ۱۰ ). از آنجایی که سرعت کاهش ذخائر شناسایی شده نفت، ۴ برابر سریعتر از کشف ذخائر جدید است(آذری وابراهیمی، بی تا : ۳۷۸ ). مسئله تقاضا برای نفت در آینده نه چندان دور، یکی از مهمترین مسائل مطرح در سیاست گذاری های انرژی در سطح جهانی است . یکی از گزارش ها خاطر نشان می سازد که در سی سال آینده، پیش بینی می شود که سرانه مصرف انرژی در کشورهای پرجمعیتی مانند هند و چین، اگر به مقدار فعلی سرانه انرژی مردم کره جنوبی برسد، آنگاه به تنهایی این سه کشور متقاضی ۱۲۰ میلیون بشکه نفت در روز خواهند بود . این رقم را با مصرف فعلی جهان در انتهای ۲۰۰۶ میلادی که ۸۴ میلیون بشکه در روز است، مقایسه نمائید تا به ماهیت مشکل پی ببرید(مارگلیس۲۰۰۱)
علاوه بر بالا رفتن تقاضا برای انرژی در قاره آسیا در سال های آینده، به نظر می رسد که استفاده از نفت خام همچنان تسلط خود را بر سبد حامل انرژی ها حفظ خواهد نمود . این سهم در سال۲۰۲۰ میلادی به ۴۰ درصد خواهد رسید و سهم گاز نیز در حالی که سریع ترین رشد را در سال های آینده خواهد داشت از۶/۲۳ درصد در حال حاضر به ۲۶ درصد در ۲۰۲۰ میلادی خواهد رسید . بقیه عناصر سبد انرژی شامل ذغال سنگ، با رشد منفی روبرو خواهند بود و : ۲۰۰۱ ، انرژی های تجدید شونده از جمله هیدروالکتریک با افزایش روبرو خواهند بود (پچوری ۱۶۳ -۱۴۷)
این پیش بینی ها را باید با روند نزولی منحنی استفاده از نفت ترکیب نمود تا یک منظره واقعی تر در دست داشت . سالهاست که انسان در پی آن است که با بهره گرفتن از تکنولوژی های جدیدتر،مقدار نفت مصرفی در بخش صنایع، حمل و نقل و تهو یه مناطق مسکونی را کمتر نماید . آیا می توان زمانی را تصور نمود که نفت دیگر کالای استراتژیک نباشد؟ این تصور ممکن است، اما مهم تعیین دقیق آن زمان است.در این صورت برای رفع کمبود نفت و گاز به مناطق تولید این دو محصول باید توجه نمود . علاوه بر منطقه خاورمیانه که با در دست داشتن۳/۶۵ درصد از منابع ثابت شده نفت جهانی و۶/۳۳ درصد منابع ثابت شده گاز جهان، نقاط دیگری نیز وجود دارند که دارای ظرفیت تولید نفت و گاز می باشند . ۲ بعنوان مثال، نفت دریای شمال سال ها بعنوان یکی از جایگزین های نفت خلیج فارس مطرح بود، اما ذخائر اثبات شده در اروپا در مجموع بیشتر از ۳ درصد ذخائر نفت خاورمیانه نمی باشد و آمار نشان دهنده کاهش تدریجی در مقدار نفت استحصالی از چاه های نفت دریای شمال می باشد . در بخش گاز، فدراسیون روسیه بزرگترین دارنده منابع گازی جهان است،در رتبه بعدی بلافاصله ایران و پس از آن کشورهای دیگر خلیج فارس در پس از روسیه دارای منابع گازی وسیعی می باشند. در سال های اخیر گاز بعنوان تمیزترین سوخت فسیلی که کمترین مقدار آلوده کننده اکسید دوکربن را در فرایند سوختن تولید می نماید، مورد توجه قرار گرفته است . حتی نکته قابل توجه آن است که گاز با توجه به آنکه متان خالص است، استفاده نکردن و نسوزاندن آن خطر بالقوه بیشتری را برای گرم شدن زمین دارد . در ابتدای قرن بیست و یکم میلادی، استفاده از گاز سریع ترین رشد را در میان حامل های انرژی داشته است . در سال ۲۰۰۶ میلادی این رشد ۳ درصد نسبت به سال قبل بوده است (نشریه آماری شرکت۲۰۰۷ ،BP ). مجموع ذخائر ثابت شده : گاز در جهان در انتهای سال ۲۰۰۶ میلادی،۴۶/۱۸۱ تریلیون متر مکعب بوده است . تولید آن ۲۸۶۵میلیارد متر مکعب در سال ۲۰۰۶ میلادی و مصرف آن ۲۸۵۰ میلیارد متر مکعب است که موازنه ای مابین عرضه و تقاضا وجود دارد . پیش بینی می شود که سهم گاز که در سال ۲۰۰۰میلادی، ۲۳ درصد و در سال ۲۰۰۶،۶/۲۳درصد بود به ۲۸ درصد در ۲۰۳۰ برسد (همان: ۴۱)
^[۱۹]
بند دوم:وضعیت انرژی در قطر
نفت قطربرای اولین باردراکتوبرسال ۱۹۳۸ودرعمق۲۵۰۰متری کشف شد وازآن زمان صنعت نفت شاهد پیشرفتهای چشمگیری بوده است ونفت ستون اصلی اقتصاد کشورقطرراتشکیل داده است .درسال ۱۹۴۹قطر صادرات نفت خودرا ازطریق بندر(مسیعید) واقع درساحل شرقی آغازکرد واولین محموله نفتی درتاریخ (۳۱/۱۲/۱۹۴۹) به مقدار (۸۰۰۰۰)هزارتن را صادرکرد.واین وضعیت تا اکتشاف ذخایرعظیم گازباقی ماند وقطربه عنوان سومین کشوردارای ذخایرگازشناخته شد به طوری که سهم بخش نفت درتولیدات داخلی (۶/۴۹) میباشدوبخش نفت درزمینه اداری شاهد تغییراتی ازجمله تاسیس شرکت قطرللبترول درسال ۱۹۷۴بوده که تمامی بخشهای نفتی وگازی وپالایشگاهها زیر نظر این شرکت به فعالیت های خود ادامه میدهند (محمد بن سعود الدلیمی ،۲۰۱۲،ص ۱)

یکی از ابزارهای شناسایی و دسته بندی فرایندهای تصادفی تشخیص نوع توزیع آنهاست.

۱-۱-۱۰ تعریف: گیریم یک فرایند تصادفی است. در این صورت توزیع های با بعد متناهی عبارتند از توزیع های توأم بردارهای تصادفی

که در آن و تمام بردارهای ممکن در است. مجموعه ی کلیه ی توزیع های با بعد متناهی یک فرایند تصادفی را توزیع متناهی البعد آن فرایند تصادفی می نامند. [۴۳]

۱-۲ امید شرطی

مفهوم امید شرطی یکی از مهم ترین مفاهیمی است که در درک موضوعاتی چون مارتینگل ها و انتگرال های تصادفی نقشی اساسی دارد. فرض می کنیم یک فضای احتمال باشد. قبل از ارائه ی تعریف امید شرطی، به تعریف زیر توجه کنید.

۱-۲-۱ تعریف: گیریم و و متغیرهای تصادفی، بردارهای تصادفی، یا فرایندهای تصادفی روی هستند و یک σ- جبر روی است. در این صورت

• اگر ، آن گاه گفته می شود که اطلاعات مربوط به در درونℱ قرار دارد یا این که بیش از آنچه که در درون وجود دارد دارای اطلاعات نیست.
• اگر ، آن گاه گفته می شود که بیش ازدارای اطلاعات نیست.[۴۳]

حال تعریف دقیق امید شرطی را تحت σ- جبر ℱ ارائه می دهیم.

۱-۲-۲ تعریف: یک متغیر تصادفی مثل را امید به شرط معلوم بودن σ- جبر می نامند هرگاه، بیش از آنچه که در درون وجود دارد دارای اطلاعات نباشد، یعنی ، و در شرط

صدق کند.[۴۳]

قضیه ی زیر نشان می دهد که این امید شرطی همواره وجود دارد و منحصر به فرد است.

۱-۲-۳ قضیه(رادون- نیکودیم): گیریم یک فضای احتمال، یک σ- جبر دیگر از زیرمجموعه های ، ، و یک متغیر تصادفی روی است. اگر ، در این صورت یک متغیر تصادفی روی وجود دارد به طوری که

(الف) ،

(ب) ،

که در آن . اگر متغیر دیگری باشد که در شرایط (الف) و (ب) صدق می کند، آن گاه

یعنی متغیر تصادفی منحصر به فرد نیز می باشد. متغیر تصادفی را امید به شرط می نامند و آن را با نمایش می دهند.[۴۳] اگر یک متغیر تصادفی، بردار تصادفی، یا فرایند تصادفی روی و ، - جبر تولید شده توسط باشند. در این صورت امید شرطی نسبت به به صورت زیر تعریف می شود:

[۴۳].

امید شرطی دارای خواصی است که به کمک آن ها می توان محاسبات مربوط به آن را ساده تر نمود.در این جا خواص را، بدون ارائه ی اثبات ، به صورت قاعده به شرح زیر ارائه می دهیم :

قاعده ی ۱ [۴۳]

امید شرطی خطی است : برای هر دو متغیر شرطی و و هر دو عدد ثابت و حقیقی و داریم

قاعده ی ۲ [۴۳]

امید های ریاضی هر متغیر تصادفی و امید شرطی یکسان هستند :

قاعده ی ۳ [۴۳]

اگر متغیر تصادفی و σ- جبر ℱ مستقل از یکدیگر باشند، آن گاه. به ویژه، اگر متغیر های

تصادفی و مستقل از یکدیگر باشند ، آن گاه

قاعده ی ۴ [۴۳] اگر برای متغیر تصادفی داشته باشیم ، آن گاه به ویژه ، اگر تابعی از متغیر های تصادفی Y باشد ، آن گاه ، در نتیجه .

قاعده ی ۵ [۴۳]

اگر برای متغیر تصادفی داشته باشیم ، آن گاه برای هر متغیر تصادفی داریم
به ویژه ، اگر تابعی از متغیر های تصادفی باشد ، آن گاه ، در نتیجه

قاعده ی۶ [۴۳]

اگر ℱ وʹℱ دو σ- جبر باشد که ʹℱ ℱ ، آن گاه

قاعده ی ۷ [۴۳]

اگر متغیر تصادفی مستقل از σ- جبر باشد ، و اگر ، که در آن یک متغیر تصادفی ، یا یک بردار تصادفی ، یا یک فرایند تصادفی است ، آن گاه برای هر تابع دو متغیره ی

که در آن به معنای آن است که را ثابت نگه داشته و امید را بر حسب محاسبه می کنیم .

قاعده ی ۸ [۴۳]

نامساوی جنسن برای امید شرطی نیز صادق است . یعنی اگر یک متغیر تصادفی ، ، تابعی محدب روی ℝ ، وʹℱ σ- جبری باشد که ℱʹℱ ، آن گاه

۱-۲-۴ تعریف( تابع مشخصه ): فرض کنیم یک فرایند تصادفی باشد ، آن گاه تابع مشخصه ی به صورت زیر تعریف می شود :

که در آن علامت امید ریاضی است [۲۴] .

۱-۳ معرفی چند فرایند تصادفی

در این قسمت چند فرایند تصادفی را معرفی می کنیم که در نظریه ی فرایندهای تصادفی ، فیزیک ، علوم مالی و غیره ، نقش اساسی دارند .

۱-۳-۱ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و فرایندهای تصادفی را حرکت براونی (استاندارد ) می نامند، هرگاه شرایط زیر در مورد آن برقرار باشد:

• این حرکت از صفر شروع می شود ، یعنی .
• نمو های آن مانا ومستقل از یگدیگر باشند، یعنی برای هر و هر به طوری که :

و این که برای هر انتخاب از با , ، متغیر های تصادفی

مستقل از یکدیگر باشند.

• برای هر ، دارای توزیع نرمال با میانگین صفر و واریانس است ، یعنی .
• در سرتاسر تقریباُ همه جا پیوسته است .(با احتمال ۱ هر مسیر آن پیوسته است ).[۴۳]

۱-۳-۲ تعریف ( حرکت براونی توأم با رانش ): گیریم یک حرکت براونی ساده است . در این صورت فرایند با تعریف
که در آن و ثابت هستند ، را حرکت براونی توأم با رانش می نامند . [۴۳]

۱-۳-۳ تعریف ( حرکت براونی هندسی): گیریم یک حرکت براونی استاندارد است . در این صورت فرایند با تعریف
که در آن و ثابت هستند، را حرکت براونی هندسی می نامند. [۴۳]

۱-۳-۴ تعریف ( فرایند گاما ): فرایند تصادفی را یک فرایند گاما گویند، هرگاه

۱) .

۲)نموهای آن مانا و مستقل از یکدیگر باشند.

۳) برای هر ، دارای توزیع گاما باشد.[۴۸]

۱-۴ مارتینگل ها

دانستن مفهوم مارتینگل در درک انتگرال تصادفی، اساسی است .

۱-۴-۱ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و خانواده ای از σ-جبرهایی است که همگی در ℱ قرار دارند. در این صورت را یک فیلتراسیون برای ℱ گویند هرگاه به ازای هر در حقیقت هر فیلتراسیون زنجیره ای غیرنزولی از اطلاعات است . هرگاه دنباله ای صعودی از σ- جبر های روی باشد، آن گاه این دنباله را نیز یک فیلتراسیون می نامند.[۴۳]

در بحث هایی که در اینجا مطرح خواهیم کرد ، معمولاً فیلتراسیون های مورد بحث در ارتباط با فرایندهای تصادفی هستند . به تعریف بعد توجه کنید .

۲-۴-۲ تعریف: گیریم یک فضای احتمال است و و یک فیلتراسیون برای این فضا، و یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورت فرایند را نسبت به فیلتراسیون سازگار گویند ، هرگاه
هر فرایند تصادفی مثل همواره نسبت به فیلتراسیون طبیعی تولید شده توسط یعنی
سازگار است .در حقیقت معنای سازگاری با فیلتراسیون این است که ها بیش از آن چه که در است حاوی اطلاعات نیستند .[۴۳]

۲-۴-۳ تعریف: گیریم یک فضای احتمال، یک فیلتراسیون برای این فضا ، و یک فرایند تصادفی روی این فضا است . در این صورت را نسبت به فیلتراسیون یک مارتینگل می نامند، هرگاه

• برای هر ، .
• نسبت به فیلتراسیون سازگار باشد.
• برای هر با ۰ داشته باشیم

یعنی تخمین خوبی برای به شرط معلوم بودن باشد.[۴۳]

۲-۴-۴ تعریف: گیریم یک فضای احتمال ، یک فیلتراسیون برای این فضا باشد. تابع را یک زمان توقف نسبت به فیلتراسیون گویند، اگر برای هر

باشد.[۸]

۱-۵ همگرایی متغیر های تصادفی

فرض کنیم دنباله ای از متغیرهای تصادفی روی فضای احتمال باشد . برای این دنباله تعریف می کنند [۴۳]:

الف) همگرایی : می نویسیم اگر

ب) همگرایی در احتمال: می نویسیم اگر برای هر

پ) همگرایی در : می نویسیم ( ) اگر ، و

[۲۲].

ت) اگر برای هر ، تابع توزیع باشد. در توزیع به همگراست، اگر

وقتی که ( ). [۹]

ث) فرض کنیم یک دنباله اندازه احتمال روی باشد. در توزیع به همگراست ( می نویسیم )، اگر
وقتی که ، . [۹]

۱-۵-۱ قضیه: اگر و دو اندازه احتمال روی باشند، آن گاه اگر وفقط اگر

برای هر تابع پیوسته و کراندار . یا به طور معادل اگر برای هرتابع پیوسته کراندار

[۹].

۱-۵-۲ قضیه: در توزیع به همگرا است، اگر و فقط اگر ، برای هر

وقتی که تابع مشخصه ی متغیر تصادفیمی باشد .[۲۴]

۱-۶ فرایند پواسون^[۲]

۱-۶-۱ تعریف: متغیر تصادفی پیوسته روی فضای احتمال با تابع چگالی احتمال

را متغیر تصادفی نمایی^[۳] با پارامتر می نامند. [۲۴]

۱-۶-۲ تعریف: متغیر تصادفی گسسته با مجموعه مقادیر ، متغیر تصادفی پواسون با پارامتر λ می نامند ، اگر

[۲۴].

۱-۶-۳ تعریف: گیریم یک دنباله از متغیر های تصادفی مستقل نمایی با پارامتر λ باشند و . آن گاه فرایند با تعریف

یک فرایند پواسون با نرخ λ نامیده می شود .[۲۴]

در واقع فرایند پواسون یک فرایند شمارشی است ، یا به طور معادل، تعداد زمان های تصادفی {} بین زمان و را شمارش می کند که برای آن یک دنباله ی مستقل وهم توزیع از متغیر های نمایی هستند . در حالت کلی اگر یک دنباله افزایشی از زمان های تصادفی با داده شده باشد، آن گاه فرایند شمارشی مرتبط با آن، ، به صورت زیر تعریف می شود:[۲۴]
تعداد زمان های تصادفی است که در بازه ی رخ می دهد و شرط ، با احتمال ۱، خوش تعریف بودن(متناهی) را تضمین می کند(برای هر ). اگر زمان های تصادفی به عنوان مجموع جزئی از یک دنباله ی مستقل و هم توزیع متغیرهای تصادفی نمایی باشند، آن گاه یک فرایند پواسون است. [۲۴] در حالت کلی برای یک فرایند شمارشی، دنباله ی زمان های تصادفی می توانند هر توزیع و ساختاری داشته باشند.

۱-۶-۴ قضیه: اگر یک فرایند شمارشی با نموهای مستقل و مانا باشد، آن گاه یک فرایند پواسون است.[۲۴]

خاصیت های فرایند های پواسون در قضیه ی بعد بیان می شوند .

۱-۶-۵ قضیه: گیریم یک فرایند پواسون باشد، آن گاه ۱) .

۲) برای هر ، ، متناهی است .

۳) برای هر ، مسیر های نمونه ای به طور قطعه ای ثابت هستند و به وسیله پرش هایی به اندازه ۱ افزایش پیدا می کند .

۴) مسیر های نمونه ای ، با احتمال ۱، از راست پیوسته و دارای حد چپ باشند.

۵) برای هر t ، با احتمال ۱ ، است.

۶) در احتمال پیوسته است ، یعنی

۷) برای هر ، دارای توزیع پواسون با پارا متر می باشد .

۸) تابع مشخصه ی به صورت زیر است :

۹) دارای نموهای مستقل است : برای هر

متغیر های تصادفی مستقل از یکدیگرند .

۱۰) دارای نموهای ماناست: برای هر ، دارای توزیع مشابه با می باشد.

اثبات: (قضیه ی ۲-۱ [۲۴]).

۱-۶-۶ تعریف(فرایند پواسون جبران شده^[۴]): این فرایند نسخه ی متمرکز فرایند پواسون است و به صورت زیر تعریف می شود:

که در آن λ نرخ فرایند است.

این فرایند دارای تغیرات مستقل است و همچنین

در نتیجه فرایند پواسون مارتینگل نیست، اما جبران شده ی آن یعنی مارتینگل است :

[۲۴].

۱-۶-۷ تعریف(فرایند پواسون ترکیبی^[۵] ): یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع به اندازه پرش یک فرایند تصادفی می باشد، که به صورت زیر تعریف می شود:

که در آن اندازه های پرش ، مستقل و هم توزیع با هستند و یک فرایند پواسون با نرخ λ ، مستقل از ، می باشد .[۸]

۱-۶-۸ تعریف: توزیع احتمال روی را به طور نامتناهی تفکیک پذیر(بخش پذیر)^[۶] می گویند، اگر برای هر عدد صحیح، ، متغیر تصادفی مستقل و هم توزیع وجود داشته باشد، به طوری که

نیز دارای توزیع باشد یا به طور معادل [۲۴]

۱-۶-۹ نتیجه: گیریم متغیر تصادفی دارای تابع توزیع باشد. به طور نامتناهی تفکیک پذیر است، اگر و فقط اگر، برای هر، وجود داشته باشد به طوری که

که در آن Φ تابع مشخصه است.[۸]

۱-۶-۱۰ مثال: اگر بردار یک متغیر تصادفی گاوسی باشد. بنابراین تابع چگالی به

صورت زیر است:

که در آن بردار^d (میانگین ( یک ماتریس متقارن معین مثبت (ماتریس کواریانس) می باشد(منظور از ضرب داخلی است) در این حالت می نویسیمتابع مشخصه ی به صورت زیر است:
بنابراین

با توجه به ۱-۶-۹، می توان نتیجه گرفت که دارای یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر است و هر .

۱-۶-۱۱ مثال: اگر متغیر تصادفی دارای توزیع پواسون با نرخ λ باشد، یعنی که .تابع مشخصه ی به صورت زیر است:

همچنین اگر توزیع برای و به صورت باشد، آن گاه دارای یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر است.

۱-۶-۱۲ مثال: گیریم یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ λ و توزیع اندازه پرش های باشد، آن گاه با توجه به قضیه ی(۳٫۴ [۲۴]) تابع مشخصه ی آن به صورت زیر است:

اگر برای هر ، یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع اندازه پرش های باشد ، آن گاه دارای یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر است.

۱-۷ اندازه های تصادفی^[۷]

فضای احتمال را در نظر می گیریم. همچنین فرض می کنیم یک مجموعه و یک حلقه از زیرمجموعه های باشد.

۱-۷-۱ تعریف(اندازه تصادفی): اندازه تصادفی روی ، یک مجموعه از متغیرهای تصادفی است به طوری که ۱) ، ۲) برای دو مجموعه ی مجزای داشته باشیم:
[۸].

گیریم یک فرایند پواسون باشد، همان طور که در بخش ۱-۶ گفته شد ، فرایند پواسون ، یک فرایند شمارشی است . اگر دنباله ای از زمان های پرش باشند ، آن گاه را می توان، تعداد

پرش های بین بازه ، بدین صورت تعریف کرد :

به طور مشابه ، اگر ، آن گاه

در واقع زمان های پرش ترکیب تصادفی از نقاط روی می باشند و فرایند پواسون تعداد چنین نقاطی را در بازه ی ، شمارش می کند . این فرایند شمارشی ، یک اندازه روی بازه ی تعریف می کند .[۲۴] برای هر مجموعه ی اندازه پذیر تعریف می کنیم :

یک اندازه است، که مقادیر صحیح را اختیار می کند و با احتمال ۱، برای هر مجموعه ی کراندار ، متناهی است . باید توجه داشت که اندازه ی به بستگی دارد ، بنابراین یک اندازه ی تصادفی است . نرخ λ از فرایند پواسون، میانگین اندازه ی تصادفی را تعیین می کند :

جایی که یک اندازه لبگ از می باشد . را اندازه ی پرش تصادفی مرتبط ، با فرایند پواسون می نامند. [۲۴] می توان فرایند پواسون را به صورت زیر تعریف کرد :

با توجه به ارتباط بین اندازه ی و فرایند پواسون خواص زیر برای اندازه ی برقرار می باشند: [۲۴]

اگر یک اندازه پرش تصادفی متناظر با فرایند پواسون باشد. آن گاه برای بازه های دو بدو مجزای :

۱) تعداد پرش های فرایند پواسون در بازه‌ی است و یک متغیر تصادفی پواسون با پارامتر می‌باشد.

۲) برای دو بازه‌ی مجزا با ، متغیرهای تصادفی و مستقل هستند.

۳) در حالت کلی برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر ، دارای توزیع پواسون با پارامتر می‌باشد، که یک اندازه لبگ از است.[۲۴]

۱-۷-۲ تعریف: اندازه‌ی تصادفی متناظر با فرایند پواسون جبران شده‌ی ، به صورت زیر تعریف می‌شود:
از تعریف بالا نتیجه می‌شود که و .توجه کنید که برخلاف یک فرایند شمارشی نیست و یک اندازه‌ی علامتدار است.[۲۴]

اندازه‌ی یک اندازه‌ی تصادفی شمارشی برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر است. به وسیله‌ی زمان های و اندازه لبگ مشخص می‌شود. در این قسمت این ساختار را به حالت کلی تری توسعه خواهیم داد. در واقع را، به وسیله‌ی یک و اندازه لبگ را به وسیله‌ی هر اندازه‌ی رادون^[۸] روی

جایگزین خواهیم کرد.

۱-۷-۳ تعریف(اندازه‌ی رادون): گیریم باشد. روی ‌ یک اندازه ی رادون است، هرگاه برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر فشرده‌ی ، . [۲۴]

۱-۷-۴ تعریف(اندازه تصادفی پواسون): گیریم یک فضای احتمال باشد و و یک اندازه رادون مثبت روی باشد.( یک - جبر از زیر مجموعه‌های است) اندازه‌ی تصادفی پواسون روی ، با اندازه‌ی نرخ ، یک اندازه‌ی تصادفی با مقادیر صحیح است:

به طوری که:

۱) برای تقریباً همه جا ، یک اندازه ی رادن با مقادیر صحیح، روی باشد، یا به طور معادل: برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر کراندار با ، یک متغیر تصادفی با مقادیر صحیح باشد. . ۲) برای هر مجموعه‌ی اندازه پذیر یک متغیر تصادفی پواسون با پارامتر باشد، یعنی
۳) برای مجموعه‌‌های اندازه پذیر دو بدو مجزای ، متغیرهای مستقل از یکدیگر باشند.[۲۴]

۱-۷-۵ قضیه: برای هر اندازه‌ی رادون روی ، یک اندازه‌ی تصادفی پواسون روی با نرخ وجود دارد. اثبات: (قضیه ی ۲٫۱۴ [۲۴]) .

۱-۷-۶ تعریف: اندازه‌ی تصادفی پواسون جبران شده ی^[۹]  به صورت زیر تعریف می‌شود:

[۲۴]. با توجه به تعریف اندازه‌ی تصادفی پواسون ، برای مجموعه‌های فشرده‌ی دوبدوی مجزای ،ثابت می‌شود[۲۴] متغیرهای مستقل هستند و

در قسمت بعد به تعریف یکی از ابزارهای مالی یعنی اختیارمعاملات^[۱۰] خواهیم پرداخت.

۱-۸ اختیار معاملات

دگرگونی اقتصاد جهانی طی دهه‌ های اخیر و توسعه‌ی اقتصادی موجب ابداع یا تکامل ابزارهای متعدد مالی گردیده است. علاوه بر گسترش معاملات سنتی، دارایی‌های فیزیکی و مالی، مبادلات ابزار مشتقه شامل قراردادهای آتی^[۱۱]، قراردادهای اختیار معامله و قراردادهای معاوضه‌ای^[۱۲] شتاب روزافزونی یافته است. به نحوی که ارزش جاری قراردادهای مشتقه منتشر شده در بازار که دارای موقعیت باز می‌باشند، در طی سال ۲۰۰۴ در حدود ۵۰ تریلیون دلار برآورد شد (که تحقق یافته است) [۵]. هدف این پایان نامه ارزش گذاری اختیار معاملات می باشد. پس به تعریف این نوع مشتقات خواهیم پرداخت.

۱-۸-۱ تعریف (مشتق مالی) : مشتق مالی^[۱۳] یک ابزار مالی است که ارزش آن از سایر ابزارهای مالی مشتق می شود، به این معنی که قیمت آتی این ابزارها به قیمت آتی یک ابزار مالی پایه متصل شده است و علت نام گذاری این ابزارها به عنوان مشتقه نیز همین امر می باشد چرا که ارزش خود را از سایر دارایی ها همچون اوراق بهادار، نرخ سود، نرخ ارز، شاخص سهام و حتی کالای اساسی کسب می کنند و لذا تغییرات قیمت هر یک از مشتقات، تابعی از تغییرات قیمت دارایی پایه آن هاست. برای مثال اختیار معامله یک مشتق مالی است که توسط جبرانی^[۱۴] آن (تابعی از دارایی های بنیادین(سهام)، ) تعریف می شود..[۵] به طور کلی دو نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: [۳۶]

1. قرارداد اختیار خرید^[۱۵]
2. قرارداد اختیار فروش^[۱۶]

۱-۸-۲ تعریف( قرارداد اختیار خرید): این قرارداد به دارنده‌ی آن، این حق (نه اجبار) را می‌دهد تا دارایی را در تاریخ معینی و با قیمت مشخصی خریداری نماید. [۳۶]

۱-۸-۳ تعریف(قرارداد اختیار فروش): این قرارداد به دارنده‌ی آن، حق(نه اجبار) فروش یک دارایی در تاریخ

معین و با قیمت مشخص را می‌دهد. [۳۶]

تاریخی که قرارداد معین می‌کند، به «تاریخ انقضاء» یا « سررسید اختیارمعامله^[۱۷]» معروف است. قیمت تعیین شده

در قرارداد تحت عنوان «قیمت توافقی^[۱۸]» نامیده می‌شود [۳۶] .دو نوع مشتقات در مورد اختیار معاملات وجود دارد:

۱) مشتقات یا محصولات استاندارد^[۱۹] ۲) مشتقات یا محصولات غیر استاندارد^[۲۰] [۳۶] مشتقات استاندارد دارای ویژگی‌های استاندارد و معین است و معاملات آن ها از گرمی و روانی خوبی برخوردار می‌باشد. همچنین قیمت آن ها و میزان نوسان پذیری‌‌های ضمنی توسط بورس یا کارگزاران مطابق مقررات و قوانین اعلام می‌شود . این نوع محصولات دو دسته اند: آمریکایی یا اروپایی ( تفاوت این دو نوع اختیار معامله ربطی به منطقه‌ی جغرافیایی ندارد) [۳۶]

اختیار معامله‌ی آمریکایی^[۲۱] در هر زمان از طول دوره‌ی عمر قرارداد تا تاریخ انقضا یا در تاریخ سررسید قابل

اعمال است، ولی اختیار معامله‌ی اروپایی^[۲۲] تنها در تاریخ انقضای آن قابل اعمال است. [۳۶]

یکی از خصوصیات بازار مشتقات خارج از بورس، وجود تعداد زیادی از محصولات غیر استاندارد یا غیر متعارف است که توسط مهندسان مالی ابداع و ایجاد می‌شوند. هر چند که معمولاً این قبیل محصولات بخش کوچکی از سبد سرمایه گذاری را تشکیل می‌دهد، با این حال چون که عموماً سودآوری این محصولات بیشتر از محصولات استاندارد است، از اهمیت زیادی برای یک بانک(مؤسسه) سرمایه گذاری دارند. [۳۶]

در این قسمت به بررسی اختیار معاملات توأم با مانع^[۲۳] از محصولات غیر استاندارد، خواهیم پرداخت.

۱-۸-۴ تعریف(اختیار معاملات توأم با مانع): این نوع اختیار معاملات، اختیار معاملاتی هستند که جبرانی آن ها بستگی به این دارد آیا ارزش سرمایه‌ی بنیادین آن ها به سطح مشخصی در طول اعتبار آن می‌رسد یا نه. اختیار

معاملات توأم با مانع به دو دسته تقسیم می‌شوند:

1. اختیار معاملات (ارزشمند)
2. اختیار معاملات (بی ارزش) [۳۶]

در اختیار معاملات نوع اول هنگامی که قیمت دارایی پایه به سطح معینی برسد، قرارداد اختیار معامله را از آن به بعد می‌توان به اجرا گذارد. در اختیار معاملات نوع دوم، هنگامی که قیمت دارایی پایه به سطح معینی برسد، قرارداد اختیارمعامله بی ارزش می‌شود. [۳۶] چهار نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: ۱) یک اختیار خرید ، قرارداد اختیار خرید اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش می‌شود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده بالاتر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶]

۲) یک قرارداد اختیار خرید به طریق مشابه تعریف می‌شود، منتها سطح تعیین شده پایین تر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد اختیار معامله است.[۳۶]

۳) یک اختیار فروش ، قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش می‌شود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده بالاتر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶]

۴) یک قرارداد اختیار فروش ، قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که به محض این که قیمت دارایی به سطح مشخص رسید، بی ارزش می‌شود و نمی توان آن را اعمال کرد. سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در زمان انعقاد قرارداد است. [۳۶] به همین ترتیب چهار نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد: ۱) یک اختیار خرید یک قرارداد اختیار خرید اروپایی رسمی است که اجرای آن منوط به رسیدن قیمت دارایی به سطح معین می‌باشد. سطح معین در ابتدای قرارداد بیشتر از قیمت دارایی تعیین می‌شود.[۳۶] ۲) یک قرارداد اختیار خرید شبیه قرارداد فوق است با این تفاوت که سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در ابتدای انعقاد اختیار معامله می باشد [۳۶]. ۳) یک اختیار فروش یک قرارداد اختیار فروش اروپایی رسمی است که اجرای آن منوط به رسیدن قیمت دارایی به سطح معین می‌باشد. سطح معین در ابتدای قرارداد بیشتر از قیمت دارایی تعیین می‌شود.[۳۶]

۴) یک قرارداد اختیار فروش شبیه قرارداد فوق است با این تفاوت که سطح مشخص شده پایین تر از قیمت دارایی در ابتدای انعقاد اختیار معامله می باشد [۳۶].

۱-۹ معادلات انتگرو دیفرانسیل جزئی^[۲۴]

۱-۹-۱ تعریف: یک معادله ی متشکل از دو یا تعداد بیشتری متغیر مستقل همراه با مشتقات جرئی یک یا تعداد بیشتری متغیر وابسته نسبت به متغیرهای مستقل، یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی نامیده می شود.[۳۳]

۱-۹-۲ تعریف: معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی می گویند اگر متغیرهای وابسته و مشتقات آن ها در معادله ی دیفرانسیل به صورت خطی ظاهر شوند.معادله ی دیفرانسیل را که خطی نباشد، غیر خطی می گویند. [۳۳]

مرتبه ی یک معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی برابر با بالاترین مرتبه ی مشتقی است، که در معادله ظاهر می شود.

صورت کلی یک معادله ی دیفرانسیل خطی مرتبه ی دوم برای دو متغیر مستقل عبارت است از :

معادله ی بالا را یک معادله ی سهموی می گویند، هرگاه

[۳۳] . ۱-۹-۳ تعریف: یک معادله ی متشکل از دو یا تعداد بیشتری متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی یک یا تعداد بیشتری متغیر وابسته نسبت به متغیرهای مستقل و یک بخش انتگرالی را ، یک معادله ی انتگرو دیفرانسیل جزئی می نامند یا به طور معادل:
[۳۲].

فصل دوم

فرایندهای لوی

ابداع نظریه ی فرایندهای تصادفی، یکی از مهمترین پیشرفت های علمی است.از دیدگاه شهودی، هدف این نظریه الگوسازی ((شانس)) به کمک ((زمان)) است.فرایندهای تصادفی، نه تنها موجودات ریاضی غنی هستند، بلکه کاربردهای وسیعی در فیزیک، مهندسی، زیست شناسی و اقتصاد نیز دارند . این بخش، مقدمه ای است برای آشنایی با رده ای از فرایندهای تصادفی که به افتخار احتمال دان بزرگ فرانسوی پل لوی^[۲۵]، که اولین بار آن ها را در دهه ی ۱۹۳۰ مطالعه و بررسی کرد، فرایندهای لوی نام گرفته اند. ساختار اساسی این فرایند در((دوران طلائی)) نظریه ی احتمال در دهه ی ۱۹۴۰-۱۹۳۰ توسط لوی، ریاضیدان روسی خینچین^[۲۶] و ایتو^[۲۷] در ژاپن، شناسایی گردید. در سال های اخیر، به دلیل پیشرفت های نظری و هم چنین گستره ی وسیعی از کاربردهای جدید به ویژه در ارزیابی قراردادهای اختیار معامله در مدیریت مالی، علاقه به این فرایند افزایش یافته است و از سال ۱۹۹۸ گردهمائی های تخصصی ویژه ی این فرایند برگزار شده است [۱و۲۴] .

۲-۱ ساختار فرایندهای لوی

۲-۱-۱ تعریف: فرایند تصادفی را یک فرایند لوی روی گویند، هرگاه :

1. با احتمال یک .
2. دارای نموها مستقل و مانا باشد، یا به طور معادل: برای هر و هر

و برای هر دنباله ی متناهی مرتب از زمان ها ، متغیرهای تصادفی

مستقل باشند.

1. به طور تصادفی پیوسته باشد، به عبارت دیگر برای هر و هر :

۴) مسیرهای نمونه ای آن، با احتمال ۱، از راست پیوسته و دارای حد چپ باشند.(کادلاگ^[۲۸])[۲۴و۸]

در واقع تا سال های متمادی نام این فرایند، فرایند دارای نموهای مستقل مانا بود. [۱]

۲-۱-۲ قضیه: اگر یک فرایند لوی باشد. آن گاه برای هر ، یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر دارد. برعکس، اگر یک توزیع به طور نامتناهی تفکیک پذیر باشد، آن گاه یک فرایند لوی وجود دارد،

به طوری که دارای توزیع است.

اثبات:]۸[ .

۲-۱-۳ مثال: اگر یک حرکت براونی باشد. بنابر مثال ۱-۶-۱۰ و قضیه ی ۲-۱-۲ یک فرایند لوی است.

۲-۱-۴ مثال: اگر یک فرایند پواسون باشد، آن گاه بنابر مثال ۱-۶-۱۱ و قضیه ی ۲-۱-۲ نتیجه می شود که ، فرایند لوی است.

۵-۱-۲ مثال: گیریم یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ λ و توزیع اندازه پرش های باشد، آن گاه با توجه به مثال ۱-۶-۱۲ و قضیه ی ۲-۱-۲ نتیجه می گیریم که یک فرایند لوی است.

۲-۱-۶ قضیه(تابع مشخصه ی فرایند لوی): اگر یک فرایند لوی روی باشد، آن گاه تابع پیوسته ی وجود دارد، به طوری که
تابع را نمای مشخصه یا نمای لوی ، فرایند می نامند[۲۶] .

در این قسمت قصد داریم با بهره گرفتن از مفهوم اندازه ی تصادفی که در بخش ۱-۷ معرفی شد رفتار پرش های فرایند پواسون ترکیبی را بررسی کنیم.

برای هر فرایند کادلاگ، یا به طور خاص برای هر فرایند پواسون ترکیبی مانند روی می توان یک اندازه تصادفی را روی به عنوان توصیف پرش های مرتبط کرد(بخش ۲٫۶ [۲۴])، یعنی این که برای هر مجموعه اندازه پذیر ،

و برای هر مجموعه ی ، تعداد زمان های پرش بین و را شمارش می کند، به طوری که اندازه های پرش آن در هستند.[۲۴]

متناظر با هر نمای مشخصه، یک فرایند لوی وجود دارد که مسیرهای آن با احتمال یک از راست پیوسته و از چپ دارای حد هستند(کادلاگ)، به این دلیل، فرایند تنها می تواند ناپیوستگی های پرشی داشته باشد، و در هر بازه ی زمانی بسته، فقط تعداد شمارش پذیر از این ناپیوستگی ها وجود دارد.

۲-۱-۷ تعریف(اندازه لوی): اگر یک فرایند لوی روی باشد. اندازه ی لوی روی برای هر مجموعه بورل از به صورت زیر تعریف می شود:

در واقع برای هر واحد زمانی، تعداد پرش های مورد انتظاری است که اندازه ی آن ها متعلق به Aاست و اندازه ی پرش در لحظه ی و حد چپ است [۲۴].

۲-۱-۸ قضیه: اگر یک فرایند پواسون ترکیبی با نرخ و توزیع اندازه پرش باشد. آن گاه اندازه ی پرش آن، ، یک اندازه تصادفی پواسون روی است، با اندازه ی نرخ

و هر فرایند پواسون ترکیبی را می توان به صورت زیر نوشت:

اثبات: (قضیه ی ۳٫۵ [۲۴]) .

۲-۱-۹ قضیه (تجزیه ی لوی – ایتو^[۲۹]): گیریم یک فرایند لوی روی و همچنین یک اندازه ی لوی باشند، آن گاه

• یک اندازه ی رادون روی است، که در شرایط زیر صدق می کند:
• اندازه پرش ، که با نشان داده می شود، یک اندازه ی تصادفی پواسون روی است(با اندازه نرخ ).
• یک بردار و یک حرکت براونی - بعدی با ماتریس کواریانس وجود دارد به طوری که

که در آن

سه تایی را سه تایی مشخصه یا سه تایی فرایند می نامند.[۲۴]

در هر بازه ی زمانی متناهی، فرایند در (۱)، فقط تعداد متناهی پرش با اندازه ی بزرگتر از واحد دارد. مجموع این تعداد متناهی پرش ها را می توان به صورت نوشت. به همین ترتیب مجموع پرش های با اندازه ی بزرگتر از و کمتر از یک، عبارت است از امّا حد این عبارت هنگامی که ، ممکن است واگرا باشد. استدلال لوی آن بود که تمایز بین تجمع تعداد بسیار زیادی از پرش های با اندازه ی کوچک و حرکات تعینی بسیار شدید، دشوار است. به این دلیل لازم است عبارت

را به جای ، در نظر گرفت که در آن دنباله ای از مارتینگل های انتگرال پذیر با میانگین صفرهستند این دنباله در میانگین مربعی همگرا به یک مارتینگل به صورت است، و اندازه تصادفی پواسون جبران شده است، که در بخش ۱-۷ تعریف شد.

حال با شناخت از ساختار فرایند لوی می توان تابع مشخصه ی آن را به دست آورد.

۲-۱-۱۰ قضیه (نمایش لوی – خینچن^[۳۰]): اگر یک فرایند لوی روی با سه تایی مشخصه ی باشد، آن گاه

وقتی

اثبات: با توجه به تجزیه ی لوی-ایتو داریم که متغیر تصادفی (تقریباً همه جا) به ، وقتی که به صفر میل می کند، همگراست و از همگرایی (تقریباً همه جا) همگرایی در توزیع را نتیجه می گیریم. بنابراین با توجه به قضیه ی ۱-۵-۲، نتیجه می گیریم که تابع مشخصه ی به تابع مشخصه ی همگرا است . چون مستقل هستند وبا توجه به ۲-۱-۵، ۲-۱-۶ و ۲-۱-۷ داریم:

اگر برای هر را به سمت صفر میل دهیم، اثبات کامل می شود( . ضرب داخلی است).

برای فرایندهای لوی حقیقی مقداریک بعدی، فرمول لوی- خینچن به صورت زیر است:

۲-۲ ارتباط بین فرایندهای لوی وفرایندهای مارکوف^[۳۱]:

۲-۲-۱ (فرایند مارکوف): به فرایندی یک فرایند مارکوف گویند که داشتن حال آینده را از گذشته مستقل کند، به عبارت دیگر اگر یک فضای احتمال، مجهز به فیلتراسیون باشد و همچنین

یک فرایند سازگار باشد. را یک فرایند مارکوف می نامند اگر برای همه ی

و هر ۰
[۸].

۲-۲-۲ قضیه : فرض کنیم یک فرایند لوی باشد، آن گاه یک فرایند مارکوف است .

اثبات : [۸].

۲-۲-۳ قضیه (خاصیت قوی مارکوف): اگر یک فرایند لوی و یک زمان توقف باشند، آن گاه روی ، فرایند با تعریف (به ازای هر ) : ۱) یک فرایند لوی مستقل از است. ۲) برای هر ، دارای توزیع یکسان با می باشد. ۳) دارای مسیرهای نمونه ای کادلاگ است وهمچنین – سازگار می باشد.

اثبات: ( قضیه ی (۲٫۲٫۱۱) [۸]).

۲-۲-۴ تعریف(هسته ی انتقالی^[۳۲]): هسته ی انتقالی از فرایند به صورت زیر تعریف می شود:

در واقع تعریف بالا احتمال انتقال از نقطه ی در زمان به مجموعه ی ، در زمان است.[۸]

۲-۲-۵ قضیه(معادله ی چپمن- کلموگورف^[۳۳]): اگریک فرایند مارکوف باشد،آن گاه برای هر و :

با توجه به تعریف هسته ی انتقالی به آسانی می توان نتیجه گرفت که هسته ی انتقالی فرایندهای لوی در زمان و فضا همگن است، یعنی

۲-۲-۶ تعریف: خانواده دو پارامتری از عملگرهای خطی روی به صورت زیر تعریف می شود، وقتی یک فرایند مارکوف است:
[۸].

از ویژگی های مارکوف نتیجه می شود که این خانواده یک دستگاه تحولی^[۳۴] تشکیل می دهد، به این معنی که برای هر ، معادله ی برقرار است. حال اگر تعریف شود ، آن گاه ویژگی تحولی به ویژگی نیم گروهی^[۳۵]، ، تبدیل می شود.[۸]

۲-۲-۷ تعریف(فرایندهای فلر^[۳۶]): یک فرایند مارکوف همگن را یک فرایند فلر گویند، اگر

وقتی فضای باناخ مرکب از توابع پیوسته روی است که در بی نهایت صفرند.[۸]

۲-۲-۸ قضیه: اگر نیم گروه در خاصیت فلر صدق کند، آن گاه مولد بی نهایت کوچک^[۳۷] برای این نیم گروه وجود دارد که به صورت زیر تعریف می شود:
جایی که همگرایی در حالت نرم سوپریمم روی C₀ است و نیز باید وجود داشته باشد. [۸]

۲-۲-۹ قضیه: فرایند لوی یک فرایند فلر است.

اثبات: [۸].

حال می توان یک مولد بی نهایت کوچک برای فرایندهای لوی ارائه داد.

۲-۲-۱۰ قضیه(مولد بی نهایت کوچک فرایندهای لوی): اگر یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی روی باشد، آن گاه مولد بی نهایت کوچک ، ، به صورت زیر به دست می آید:

عبارت بالا برای با محمل فشرده خوش تعریف است. که در آن فضای توابع دو بار مشتق پذیر و پیوسته که در بی نهایت صفرند، می باشد.[۲۴]

۲-۲-۱۱ نتیجه: فرض کنیم شرایط قضیه ی بالا برقرار باشند و همچنین به ازای هر ، آن گاه مولد بی نهایت کوچک یعنی به صورت زیر است:

۲-۳ فرایندهای لوی و مارتینگل ها

یکی از مفاهیم تئوری احتمال و ریاضیات مالی ، مفهوم مارتینگل است که در بخش ۱-۴ به آن پرداخته شد.

۲-۳-۱ قضیه: اگر یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی باشد: الف) یک مارتینگل است،اگر و فقط اگر ،
ب) مارتینگل است، اگر و فقط اگر،
[۲۴].

۲-۳-۲ تعریف(فرایندهای تبعی^[۳۸]): هر فرایند لوی یک بعدی که با احتمال یک غیرنزولی باشد ، یک فرایند تبعی نامیده می شود . برای این فرایندها ، تبدیل فوریه ی تعریف کننده ی تابع مشخصه را می توان ادامه ی تحلیلی داد تا تبدیل لاپلاس آن به صورت
به دست آید. که در آن
در اینجا ، و یک اندازه ی لوی است با این ویژگی که و
(تابع را نمای لاپلاس^[۳۹] فرایند تبعی می نامند). [۸و۲۴]

یک کاربرد مهم فرایندهای تبعی در تغییر مقیاس زمانی فرایندهای لوی است.

۲-۳-۳ قضیه: فضای احتمال را در نظر می گیریم. اگر یک فرایند لوی با نمای مشخصه ی و یک فرایند تبعی مستقل از با نمای لاپلاس و سه تایی باشد ، آن گاه فرایند

یک فرایند لوی می باشد که تابع مشخصه ی آن

است و دارای سه تایی مشخصه ی با
است که در آن ها توزیع احتمال است.[۲۴]

روش ارائه شده در قضیه ی بالا ، اولین بار در دهه ی ۱۹۵۰ توسط بوخنر^[۴۰] مطالعه گردید و به این دلیل گاهی آن را به افتخار او « تبعی سازی به معنای بوخنر » می نامند.[۱]

دو نوع از فرایندهای لوی ، که دارای کاربرد زیادی در مدل های مالی دارای پرش هستند را در ادامه بررسی خواهیم

کرد: گروه اول، مدل های از نوع دیفیوژن پرشی^[۴۱] و گروه دوم ، مدل های با فعالیت نامتناهی^[۴۲].

۲-۳-۴ تعریف(مدل های از نوع دیفیوژن پرشی): این مدل ها، یک فرایند لوی با یک مولفه ی گاوسی غیر صفر و بخش پرشی با پرش های متناهی هستند و دارای فرم زیر هستند:
که در آن ها هم توزیع و مستقل از یکدیگرند، مولفه ی گاوسی و یک فرایند پواسون و مستقل از ها است. از جمله خواص مهم این نوع مدل ها این است که ، توزیع اندازه پرش های آنها شناخته شده است.[۲۴]

مدل مرتون^[۴۳]، یک مدل دیفیوژن پرشی است[۲۴]: پرش های در ارزش- لگاریتمی دارای توزیع لگاریتمی است یا به عبارت دیگر و چگالی احتمال به صورت

۲-۳-۵ تعریف(مدل های با فعالیت نامتناهی یا با نرخ نامتناهی): این مدل ها لزوماً دارای مولفه ی حرکت براونی نیستند و در هر بازه تعداد نامتناهی پرش وجود دارد. در این نوع مدل ها، توزیع اندازه ی پرش ها وجود ندارد و فرم بسته ی چگالی آن ها در بعضی از موارد در دسترس است[۲۴].

مدل واریانس گاما^[۴۴]، یک مدل با فعالیت نامتناهی است[۲۴]. فرایند واریانس گاما از تبعی نمودن حرکت براونی با تبعی کننده ی گاما به دست می آید .( در واقع با جایگزین کردن فرایند گاما به جای زمان در ) تابع مشخصه یا نمای مشخصه ی این مدل به صورت زیر است:
که در آن تلاطم ، رانش حرکت براونی و واریانس تبعی کننده ی آن(یعنی واریانس فرایند گاما) می باشند و همچنین چگالی اندازه ی لوی این مدل به صورت زیر
نمایش داده می شود، جایی که c= و

هنگامی که توزیع تغییرات یا پرش های یک فرایند لوی ناشناخته باشد دانش دقیقی از تصویر مسیرهای نمونه ای آن در دست نیست. . در واقع با یک مدل با فعالیت نامتناهی روبرو هستیم ، که در این حالت ، این مدل را می توان با یک فرایند پواسون ترکیبی تقریب زد .

گیریم یک فرایند لوی با فعالیت نامتناهی باشد ، که دارای سه تایی مشخصه ی است . هدف ، پیدا کردن یک فرایند پواسون ترکیبی است، که فرایند اولیه ی را تقریب می زند. البته این تقریب تحت برخی حالت های خاص به دست خواهد آمد.

با توجه به تجزیه ی لوی- ایتو ، فرایند را می توان به صورت مجموع یک فرایند پواسون ترکیبی و یک حد (تقریباً همه جا) از یک فرایند پواسون ترکیبی جبران شده ، تجزیه کرد، یعنی

که در آن

تعریف شده در بالا را می توان به وسیله ی فرایند تخمین زد ، وقتی که

خطای این تقریب به صورت زیر است:

ثابت می شود(بخش ۶٫۳ [۲۴]) ، یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی است و .

اگر پرش های کوچک فرایند لوی ، با تغییرات کراندار باشد ، آن گاه می توان فرایند را به صورت زیر تجزیه کرد[۲۴] :که در این حالت نیاز به عبارت فرایند پواسون ترکیبی جبران شده ی آن نداریم. می توان را به وسیله ی تقریب زد ، که در آن
فرایند یک فرایند لوی با فعالیت نامتناهی است که پرش های آن کراندار می باشند . در نتیجه واریانس نیز متناهی است ، یعنی:
کیفیت تقریب بستگی به سرعت همگرایی به صفر دارد ، وقتی که . برای اثبات مطالب بالا می توان به [۲۴]مراجعه کرد.

اگر تعداد پرش های خیلی زیادی وجود نداشته باشد، آن گاه تقریب فرایند پواسون ترکیبی برای فرایند لوی دقت خیلی بالایی دارد . در این قسمت یک تقریب را ارائه خواهیم داد که دقت تقریب پواسون ترکیبی را ، با جایگزینی پرش های کوچک با یک حرکت براونی بالا خواهد برد. در واقع اگر تعداد پرش های کوچک خیلی زیاد باشد ، تقریب فرایند لوی به وسیله ی یک فرایند پواسون ترکیبی و جایگزینی پرش های کوچک با یک حرکت براونی ، مکمل یکدیگرند. در این قسمت فرض می کنیم پرش های کوچک ، فرایند خیلی زیاد (نامتناهی) باشند.[۲۴]

۲-۳-۵ قضیه: اگر فرایند خطای نرمال سازی شده باشد ، آن گاه این فرایند در توزیع به حرکت براونی همگراست و شرط همگرایی آن می باشد( یک حرکت براونی با میانگین صفر و واریانس ۱ است). [۲۴و۳۸]

با توجه به (۲) ، (۳) و (۴) داریم :

همچنین بنابر قضیه ی (۲٫۳٫۴) ، به جای تقریب (۳)می توان از تقریب زیر استفاده کرد:

قضیه ی زیر یک کران بالا را برای تقریب (۵) ارائه می دهد .

۲-۳-۶ قضیه: اگر یک تابع مشتق پذیر با مشتق کراندار باشد به طوری که برای ثابت باشد،

آن گاه:
که در آن و یک ثابت است که در شرط صدق می کند.

اثبات: (قضیه ی ۶٫۲ [۲۴]).

فصل سوم

ارزش گذاری اختیار معاملات و ارتباط آنها با معادلات

در سال های اخیر، بازارهای اوراق اختیار معامله، در دنیای مالی سرمایه گذاری، اهمیت روزافزونی پیدا کرده است. از این رو نحوه ی قیمت گذاری اختیار معاملات یکی از مسائل مهم در بازارهای مالی می باشد. سوال اساسی این است که آیا بازار مالی بهای یگانه ای را برای اختیار معاملات تعیین می‌کند و اگرپاسخ مثبت است، آیا می‌توان این بهای یگانه را محاسبه کرد. توجه به این مسأله تا حد زیادی مربوط به نتایج بلک^[۴۵]، شولز^[۴۶] و مرتون^[۴۷] در دهه ۱۹۷۰ است، که با دادن پاسخ مثبت به این سوال جایزه‌ی نوبل در اقتصاد را از آن خود کردند. همچنین این مدل نقش اساسی و محوری در موفقیت مهندسی مالی در دهه‌ های ۱۹۸۰ و ۱۹۹۰ داشته است[۱۵]. الگوی بلک- شولز- مرتون با وجود زیبایی و ارزش نظری آن، دارای محدودیت‌ها و کمبودهایی است که منجر به سوال برانگیز شدن آن شده است. یکی از عمده‌ترین این موارد مشاهده‌ی رفتار آماری قیمت‌های سهام به صورت توزیع‌های دارای دم‌های سنگین است. این با مدل گاوسی مطابقت ندارد و لذا پیشنهاد شد که حرکت براونی با یک فرایند لوی کلی‌تر جایگزین شود. در این بخش هدف اصلی ما ارزش گذاری اختیارمعاملات اروپایی و توأم بامانع تحت فرایندهای لوی است.

۳-۱ ساز و کار بازارهای اختیار معامله

در این پایان نامه در مورد قراردادهای اختیار معامله‌ی سهام بحث خواهیم کرد. همان طور که در فصل اول ذکر شد، به طور کلی دو نوع قرارداد اختیار معامله وجود دارد:

(۱) «قرارداد اختیار خرید» (۲) «قرارداد اختیار فروش»

خریدار اختیار خرید امیدوار است که قیمت سهم افزایش یابد، در حالی که خریدار اختیار فروش انتظار دارد که قیمت سهام کاهش یابد، اکنون می‌خواهیم با توجه به تصادفی بودن قیمت دارایی پایه (سهم) در تاریخ سررسید، بازده یا ارزش نهایی سرمایه گذار در اختیار معامله‌های اروپایی و توأم با مانع را در حالت کلی بیان کنیم. اگر را قیمت توافقی و را قیمت دارایی پایه در زمان سررسید بدانیم، بازده حاصل از اختیار خرید اروپایی عبارت است از:

رابطه‌ی بالا، این واقعیت را نشان ‌می‌دهد که اگر باشد، اختیار معامله اعمال نخواهد شد و در غیر این صورت، یعنی اگر باشد، اختیار معامله اعمال خواهد شد. به همین منوال بازده سرمایه گذاری در قرارداد اختیار فروش اروپایی به صورت زیر می‌باشد:

در فصل اول اختیار معاملات توأم با مانع نیز تعریف شد، حال بازده سرمایه گذاری در این نوع اختیار معاملات به زیر است:

اگر زمان سررسید قرارداد باشد، فرایندهای ماکزیمم و مینیمم را به صورت زیر تعریف می‌شود:

بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:

رابطه‌ی بالا، این واقعیت را نشان می‌دهد که اگر ماکزیمم قیمت دارایی بنیادین به سطح مشخص رسید، اختیار معامله بی ارزش می‌شود و نمی‌توان آن را اعمال کرد و در غیر این صورت اگر ماکزیمم قیمت دارایی به سطح مشخص نرسد، اختیار معامله دارای ارزش است و می‌توان آن را اعمال کرد. در واقع همان اختیار خرید اروپایی رسمی است. به همین ترتیب بازده‌ی حاصل از اختیار فروش به صورت زیر است:

بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:

این رابطه، نشان می‌دهد که اگر ماکزیمم قیمت دارایی به سطح معین برسد، اختیار معامله دارای ارزش می‌شود و می‌توان آن را اعمال کرد، در غیر این صورت اختیار معامله بی ارزش است. به همین صورت بازده‌ی حاصل از

اختیار فروش به صورت زیر است:

بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:

این رابطه نشان می‌دهد که اگر مینیمم قیمت دارایی به سطح مشخص برسد، با ارزش می‌شود. در غیر این صورت نمی‌توان آن را اعمال کرد. به همین منوال بازده‌ی حاصل از اختیار فروش به صورت زیر است:

بازده‌ی حاصل از اختیار خرید به صورت زیر است:

رابطه‌ی بالا نشان می‌دهد که اگر مینیمم قیمت دارایی به سطح مشخص برسد، بی ارزش می‌شود و نمی‌توان آن را اعمال کرد و بازده‌ی حاصل از اختیار فروش به صورت زیر می‌شود:

می‌توان بازده‌ی اختیار معاملات توأم با مانع مضاعف را نیز به دست آورد. که در واقع جمع دو نوع از اختیار معاملات توأم با مانع منفرد است، که در بالا بازده‌ی آن ها را تعریف شده است.

برای مثال بازده‌ی دو نوع مشهور از اختیار معاملات توأم با مانع مضاعف به صورت زیر است: الف) بازده‌ی حاصل از جمع اختیارخرید بامانع و اختیارخرید با مانع به صورت زیر تعریف می‌شود:

اگر مانع های و برابر باشند، آن گاه بازده‌ی این اختیار معامله همان بازده‌ی اختیار خرید اروپایی رسمی است.

ب) بازده‌ی حاصل از جمع اختیار خرید بامانع و اختیار خرید با مانع به صورت زیر است:

اگر مانع های و برابر باشند، آن گاه بازده‌ی این اختیار معامله، همان بازده‌ی اختیار خرید اروپایی رسمی است.

۳-۱-۱ قضیه (رابطه‌ی برابری اختیار فروش و اختیار خرید^[۴۸]): فرض کنیم ارزش یک اختیار خرید اروپایی و ارزش یک اختیار فروش اروپایی باشند. دو سبد سرمایه‌‌ی زیر را در نظر می‌گیریم: سبد سرمایه‌ی (الف) شامل یک اختیار خرید اروپایی به علاوه‌ی مبلغ دلار (که در آن قیمت توافقی و زمان سررسید اختیار خرید هستند.) و سبد سرمایه‌ی (ب) که شامل یک اختیار فروش اروپایی به علاوه‌ی یک سهام است. هر دو سبد سرمایه‌ی فوق در زمان ، دارای ارزش معادل زیر خواهند بود:
با توجه به این که هر دو اختیار، اروپایی‌اند و نمی‌توان آنها را قبل از تاریخ سررسید به اجرا گذاشت، پس در حال حاضر نیز این دو سبد سرمایه ارزش‌های یکسانی دارند، یعنی این که:
به این رابطه، اصطلاحاً «رابطه‌ی برابری اختیار فروش و اختیار خرید» می‌گویند[۳۶و۴۸]. رابطه‌ی فوق نشان ‌می‌دهد که می‌توان قیمت یک اختیار خرید اروپایی با قیمت توافقی و سررسید معین را از قیمت یک اختیار فروش اروپایی با همان قیمت توافقی و همان سررسید به دست آورد و بر عکس. اگر رابطه‌ی بالا برقرار نباشد، فرصت‌های آربیتراژی^[۴۹] ایجاد خواهد شد. (اگر در جریان یک معامله بتوان بدون گذاشتن سرمایه با احتمال مثبت پولی را به دست آورد و با احتمال صفر ضرری متحمل شد، در این صورت می‌گویند که در این معامله فرصت آربیتراژ وجود دارد[۴۹].)

۳ ارزش گذاری اختیار معامله لوییس بشیلیه^[۵۰] در پاریس هنگام مطالعه‌ی رفتار پویای بازار بورس پاریس در سال ۱۹۰۰، الگویی برای حرکت سهام ارائه داد. به همین علت بسیاری، بشیلیه را بنیان گذار ریاضیات مالی می‌دانند. در واقع بشیلیه مدل سهام را به صورت زیر بیان کرد:

یک حرکت براونی با میانگین صفر و واریانس یک ، نوسان پذیری قیمت سهام و قیمت اولیه‌ی سهام می‌باشند.[۱۰و۱۱]

پاول ساموئلسن^[۵۱] نشان داد، که الگوی مناسب برای تغییرات قیمت کالاها در بازار بورس آن چیزی است که امروز، حرکت براونی هندسی نام دارد. ساموئلسون شرح می‌دهد که الگوی بشیلیه از تضمین مثبت بودن قیمت کالاها قاصر است و به ناسازگاری آشکار با اصول اقتصادی منجر می‌شود، در حالی که حرکت براونی هندسی با چنین دردسرهایی مواجه نیست[۳۷و۴۶]. این مدل به صورت زیر است:

که حرکت براونی با میانگین صفر و واریانس یک، نرخ بازده مورد انتظار سهام و نوسان پذیری قیمت سهام می‌باشند. یعنی دارای توزیع لگاریتم نرمال است. به کمک حساب دیفرانسیل ایتو ثابت می‌شود [۴۳و۴۹] که این در واقع جواب معادله‌ی دیفرانسیل تصادفی

می‌باشد.

۳-۲-۱ مفروضات مدل- بلک- شولز: مفروضات اصلی مدل ارائه شده توسط بلک- شولز جهت قیمت گذاری اختیار معامله عبارتند از: ۱) رفتار قیمت سهام با مدل تابع لگاریتم نرمال( میانگین وانحراف معیار) مطابقت دارد. (در واقع حرکت براونی هندسی). ۲) هیچ گونه هزینه‌ی معاملاتی یا مالیاتی وجود ندارد. ۳) سهام مورد نظر در طول عمر اختیار معامله‌ی آن سود پرداخت نمی‌کند. ۴) هیچ گونه فرصت آربیتراژی وجود ندارد. ۵) معاملات اوراق بهادار در هر زمانی امکان پذیر می‌باشد. ۶) سرمایه گذاران می‌توانند با نرخ یکسانی (نرخ بهره‌ی بدون ریسک) وام بگیرند یا وام بدهند. ۷) نرخ بهره‌ی بدون ریسک کوتاه مدت ، ثابت است.[۳۶]

۳-۲-۲ فرمول‌های قیمت گذاری(ارزش گذاری تحت حرکت براونی): اگر یک دارایی کم خطر (شاید بدون ریسک) و ارزش اولیه‌ی این دارایی باشد با توجه به نرخ بهره‌ی مرکب ارزش این دارایی در زمان برابر است با
این یک فرایند معین است. همچنین اگر یک دارایی توأم با ریسک داشته باشیم(در واقع یک سهم داریم)، ، که به وسیله‌ی حرکت براونی زیر مدل شده است:
که یک حرکت براونی استاندارد، نوسان پذیری سهم و بازده‌ی مورد نظر انتظار سهم هستند. به طور کلی برای پوشش ریسک موجود در سرمایه گذاری ناچاریم یک استراتژی را در نظر بگیریم و برای این منظور در زمان به اندازه‌ی از بورس (دارایی توأم با ریسک) و به اندازه‌ی از دارایی بدون ریسک را در سبد سرمایه برای پوشش ریسک قرار می‌دهیم. یعنی در لحظه‌ی ‌ ارزش سبد سرمایه عبارت است از:
در اینجا هدف پیدا کردن دستوری (احتمالاً صریح) برای تابع است. با بهره گرفتن از دیفرانسیل تصادفی ایتو به معادله‌ی زیر خواهیم رسید[۴۱]:
که به معادله‌ی بلک- شولز معروف است. در نظریه‌ی معادلات با مشتقات جزئی می‌دانیم که با داشتن شرایط مرزی متفاوت جواب‌های متفاوت برای معادله ی بالا به دست می‌آید. برای معادله‌ی بالا هر شرط مرزی بیان کننده‌ی یک مشتق مالی است و جواب تحت آن شرط ارزش مشتق مالی را در هر لحظه ارائه می‌دهد. بنابراین اگر تابع جبرانیه‌ی یک اختیار معامله باشد، آن گاه با حل معادله‌ی بلک- شولز و شرط مرزی ارزش این اختیار معامله به دست می‌آید. ارزش اختیار خرید اروپایی با تابع جبرانیه‌ی با بهره گرفتن از معادله‌ی بلک‌-شولز به صورت زیر به دست می‌آید [۴۱] :
که در آن
منظور از تابع توزیع تجمعی نرمال استاندارد است. به همین ترتیب ارزش اختیار فروش اروپایی به صورت زیر است[۴۱]:
به همین منوال ارزش اختیار معاملات توأم با مانع به صورت زیر به دست می آید [۴۱]: اگر مانع ،

اگر ،

که در معادلات بالا

۳-۲-۳ ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی: یکی از نتایج مهم در قیمت گذاری اختیارمعاملات بر روی سهام «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی» می باشد. می‌توان آن را به صورت زیر بیان کرد: «ارزش گذاری اوراق مشتقه صادره بر روی اوراق بهادار پایه مبتنی بر این فرض است که سرمایه گذاران نسبت به ریسک بی تفاوتند.»[۳۶]

اصل فوق بیان نمی‌کند که سرمایه گذاران بی تفاوت به ریسک هستند. آن چه که این اصل می‌گوید این است که مشتقاتی همچون اختیار معامله را با این فرض می‌توان ارزش گذاری کرد که سرمایه گذاران نسبت به ریسک بی تفاوتند. به بیان دقیق تر، ترجیحات مربوط به ریسک سرمایه گذاران در ارزش اختیار معامله‌ی سهام، که به صورت تابعی از قیمت دارایی پایه است، تأثیری ندارد و به همین دلیل است که در معادله‌ی بلک- شولز از بازده‌ی مورد انتظار سهام یعنی استفاده نمی‌شود. فرض ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی، یک ابزار قوی برای به دست آوردن قیمت مشتقات است. زیرا زمانی که از جهان بی تفاوت نسبت به ریسک به دنیای ریسک گریزی وارد می‌شویم، دو نتیجه‌ی مهم به دست می‌آید:

1. نرخ بازده‌ی مورد انتظار اوراق بهادار مساوی نرخ بهره‌ی بدون ریسک می‌شود.
2. نرخ مناسب تنزیل به کار برده شده جهت هر گونه پرداختن در آینده ،معادل نرخ بهره‌ی بدون ریسک می‌شود.[۳۶]

می‌توان اختیار معاملات و سایر مشتقات را که نرخ بازده‌ی معینی در یک دوره‌ی زمانی خاص دارند، با بهره گرفتن از فرض « ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی» به ترتیب زیر قیمت گذاری کرد:

1. نرخ بازده‌ی مورد انتظار دارایی پایه را نرخ بهره‌ی بدون ریسک، فرض کرد. (یعنی ).
2. ارزش اختیار معامله یا عایدی مورد انتظار اختیار معامله در زمان سررسید را محاسبه کرد.‌
3. بازده‌ی مورد انتظار فوق را با نرخ بهره‌ی بدون ریسک تنزیل داد.[۳۶]

حال اگر یک فضای احتمال باشد و همچنین یک فیلتراسیون طبیعی تولید شده توسط حرکت براونی {} باشد.

۳-۲-۴ قضیه(فیمن-کاک): معادله‌ی دیفرانسیل زیر را در نظر می‌گیریم:

اگر یک جواب این معادله، با شرط مرزی زیر باشد
آن گاه را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:
در جایی که یک فرایند تصادفی است و در معادله‌ی دیفرانسیل زیر با شرط اولیه‌ی صدق می‌کند:
[۱۶]. ۳-۲-۵ نتیجه: اگر معادله‌ی(۶) با معادله‌ی بلک- شولز جایگزین شود و همچنین تابع تابع جبرانیه‌ی اختیار

معامله باشد، آن گاه

این امید تنزیل یافته، تحت اندازه احتمال (پیوست الف-۳)، مارتینگل است و بنابراین اصل «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی» صادق است. به اندازه احتمال اندازه‌ی ریسک- خنثی گفته می‌شود. [۱۶]

۳-۲-۶ قضیه (اولین قضیه‌ی اساسی ارزش گذاری دارایی): اگر در بازار فرصت آربیتراژ وجود نداشته باشد، اندازه‌ی احتمالی مانند ، معادل با (اندازه احتمال اصلی بازار) وجود دارد، به طوری که فرایند ارزش تنزیل یافته‌ی دارایی نسبت به آن مارتینگل است.[۸و۲۴] و (پیوست الف-۳).

۳-۳ ارزش گذاری اختیار معاملات تحت فرایندهای لوی نمایی بدون شک در کهکشان فرایندهای تصادفی استفاده شده برای نوسانات مدل سهام، حرکت براونی درخشان‌ترین ستاره است. اما آیا توزیع احتمالات «لگاریتم قیمت‌های دارایی» واقعاً به صورت نرمال است؟ قیمت‌های بازار قراردادهای اختیار معامله تا چه حد به قیمت‌های پیش بینی شده با بهره گرفتن از مدل بلک- شولز نزدیک هستند؟ آیا واقعاً معامله گران هنگام تعیین قیمت قرارداد اختیار معامله از مدل بلک- شولز استفاده می‌کنند؟ چه تحقیقاتی در زمینه‌ی آزمون اعتبار و روایی فرمول بلک- شولز انجام شده است؟

شکل (۳-۱) را در نظر بگیرید:

شکل(۳-۱)- قیمت لگاریتمی سهام شرکت ، از بورس بین ژانویه ی ۱۹۹۳ و دسامبر ۱۹۹۶ و مقایسه ی آن با یک مسیر نمونه ای از حرکت براونی با تلاطم وبازدهی یکسان. آیا قابل تشخیص هستند؟[۲۴]

یکی از نمودارهای در این شکل، قیمت سهام را برای شرکت ، از بورس بین ژانویه‌ی ۱۹۹۳ و دسامبر ۱۹۹۶ نشان می‌دهد و نمودار دیگر، یک مسیر نمونه‌ای از یک حرکت براونی با میانگین نوسانات مشابه همان دوره را نشان می‌دهد. همان طور که دیده می‌شود، قیمت سهام شبیه مسیر نمونه‌ای حرکت براونی است. در واقع نمی‌توان دو نمودار را از یکدیگر تمیز داد.

یکی از خاصیت های مهم حرکت براونی، پیوستگی مسیرهای نمونه‌ای آن است. یا به عبارت دیگر یک مسیر نمونه‌ای ، یک تابع پیوسته از زمان است. حال یک دوره ی زمانی کوچکتر از دو نمودار در شکل(۳-۱) را در نظر بگیریم. شکل(۳-۲) این فرم را برای یک دوره‌ی ۳ ماهه نشان می‌دهد.

شکل (۳-۲)- قیمت لگاریتمی سهام شرکت ، از بورس بین ژانویه ی تا مارس ۱۹۹۳ و مقایسه ی آن با یک مسیر نمونه ای از حرکت براونی با تلاطم و بازدهی یکسان.[۲۴]

با بهره گرفتن از خاصیت پیوستگی مسیرهای نمونه‌ای حرکت براونی، می‌توان قیمت سهام و مسیر نمونه‌ای حرکت براونی را در شکل (۳-۲) تشخیص داد. در واقع قیمت سهام دارای چندین پرش ناگهانی است. در بررسی رفتار قیمت سهام، تحلیل گران در بیشتر مواقع بازه‌ی زمانی را روزانه یا به صورت هفتگی در نظر می‌گیرند. پس می‌توان گفت که مدل قیمت سهام از یک الگوی حرکت براونی تبعیت نمی‌کند. البته در مدل بلک- شولز نوسانات آنی^[۵۲] می‌توانند بر روی قیمت سهام موثر باشند که می‌توان این نوسانات را به وسیله‌ی یک تابع تلاطم موضعی^[۵۳] به دست آورد. مطالعات تجربی نشان داده‌اند که ضریب شدت تغییرات تصادفی (تلاطم()) ثابت نیست. بر این اساس، عده‌ای از محققین مدل‌های آنالیز تصادفی را برای بررسی تغییرات این کمیت پیشنهاد کرده‌اند که در آن ها به جای در مدل بلک- شولز یک فرایند تصادفی قرار می‌گیرد.

در واقع مدل زیر توسط دوپایر^[۵۴][۳۳]، درمان و کانی^[۵۵][۳۰] برای قیمت سهام پیشنهاد شده است:

همان طور که گفته شد، می‌توان (تلاطم ضمنی) را با فرایندهای تصادفی گوناگون جایگزین کرد. برای جزئیات بیشتر به فصل ۱۵ [۲۴] مراجعه شود.

مدل های تجربی نشان می‌دهند که قیمت سهام یا بازدهی آن ها دارای پرش و ناپیوسته هستند و همچنین مشاهده رفتار آماری قیمت‌های سهام به صورت توزیع‌های دارای دم‌های سنگین است. لذا پیشنهاد شد که حرکت براونی با یک فرایند لوی کلی‌تر جایگزین شود. در واقع ژمن^[۵۶]، مدان^[۵۷] و یور^[۵۸] [۱۹] این مطلب را چنین توجیه کرده‌اند که این جایگزینی طبیعی است از این جهت که، با توجه به تجزیه‌ی لوی-ایتو، جمله‌ی ، متناظر با «پرش های کوچک»، توصیف کننده‌ی تغییرات و تلاطم‌های کوچک روزانه در قیمت سهام است، در حالی که جمله‌ی  متناظر با «پرش های بزرگ» ، الگویی برای آثار حوادث شدید اجتماعی، سیاسی و اقتصادی بر بازارهای مالی است. با کنار گذاردن حرکت براونی، گستره‌ی وسیعی از فرایندهای لوی وجود دارند که از بین آن ها می‌‌توان مدلی را انتخاب کرد. این انتخاب باید مناسب و به صورتی انجام گیرد که ما را قادر به استخراج فرمول‌هایی کند که تحلیل گران بازارهای مالی بتوانند آن ها را برای محاسبه‌ی قیمت سهام به کار برند.

۳-۳-۱ مدل های لوی نمایی همان طور که در بخش ۳-۲ بیان شد، در مدل بلک-شولز، فرایند قیمت سهام به صورت زیر است:
که می تواند به صورت معادل زیر نوشته شود:
در قسمت قبل مشاهده شد، مطالعات تجربی، مدل قیمت سهام از یک حرکت براونی تبعیت نمی کند. بنابراین می توان به جای حرکت براونی از یک فرایند لوی استفاده کرد. پس به جای معادله ی (۷) می توان از معادله ی دیفرانسیل تصادفی^[۵۹] زیر استفاده کرد:

یا این که از نمای معمولی^[۶۰]

استفاده کرد. نماد برای معادله ی دیفرانسیل تصادفی و نماد برای نمای معمولی به کار گرفته شده اند. علت انجام این عمل، این است که بر خلاف حرکت براونی با هم تفاوت دارند. حال اگر فرایندهای (۸) و (۹)، با فرایند تنزیل داده شوند (یا به طور معادل ) داریم:

با بهره گرفتن از دیفرانسیل تصادفی ایتو (پیوست الف-۳)، جواب معادله ی (۱۰) با شرط اولیه ی ، به صورت زیر به دست می آید (قضیه ی ۸٫۲۱ [۲۴]):
معادله ی بالا نمای تصادفی^[۶۱] نامیده می شود. با اعمال شرط جواب معادله ی بالا مثبت می شود (زیرا قیمت سهام نمی تواند منفی باشد) بنابراین با اعمال این شرط معادلات (۱۰) و (۱۱) معادل هستند (فصل ۸ [۲۴]).

برای ارزش گذاری اختیارمعاملات تحت مدل های لوی نمایی، بایستی اصل «ارزش گذاری نسبت به اندازه ی ریسک-خنثی » را رعایت کرد. پس در این قسمت به دنبال پیدا کردن اندازه ی ریسک-خنثی می باشیم به طوری که امید تنزیل یافته ی تابع جبرانیه، تحت این اندازه، مارتینگل شود.

۳-۳-۲ تعریف(بازار کامل^[۶۲]): یک بازار «کامل» نامیده می شود، هرگاه هر مشتق مالی بتواند با معامله روی دارایی بنیادین(پایه) مربوط به مشتق مالی و سپرده گذاری در بازار پول، بدون این که تا زمان سررسید قرارداد نیازی به تزریق سرمایه از بیرون باشد، جبران شود.[۸و۲۴]

در یک بازار کامل هر مشتق مالی دارای ارزش منحصربه فردی است که وجود آربیتراژ را نفی می کند.(قضیه ۳-۲-۶)

۳-۳-۳ قضیه(دومین قضیه ی اساسی ارزش گذاری دارایی): یک بازار بدون آربیتراژ کامل است، اگر وتنها اگر، یک اندازه ی احتمال منحصر به فرد ، معادل با (اندازه احتمال اصلی بازار) وجود داشته باشد به طوری که فرایند ارزش تنزیل یافته ی دارایی نسبت به آن مارتینگل باشد.[۸و۲۴] و(پیوست الف)

۳-۳-۴ تعریف(بازار ناکامل^[۶۳]): اگر وجود داشته باشد، اما منحصر به فرد نباشد، بازار «ناکامل» نامیده می شود.[۸و۲۴]

برای ارزش گذاری مشتقات مالی (اختیارمعاملات) نیاز به اندازه ی مارتینگل داریم. وقتی که بازار کامل باشد، این اندازه منحصر به فرد و برای هر مشتق مالی یک ارزش منحصربه فرد به دست می آید. این اندازه ی مارتینگل، برای دو فرایند پواسون و براونی منحصر به فرد است، یعنی بازار در این دو حالت کامل است.[۸]. اما در سایر فرایندهای لوی ثابت می شود (فصل ۸ [۲۴]) بازار ناکامل است، بنابراین این اندازه منحصر به فرد نیست. پس هر سرمایه گذار می تواند بر اساس معیارهای خود، این اندازه را پیدا کند و ارزش مشتق مالی را بر اساس آن به دست آورد. یعنی هر سرمایه گذار بسته به معیار خود حاضر است بهایی را برای یک مشتق مالی خاص بپردازد، که می تواند با ارزش مورد انتخاب سرمایه گذاران دیگر متفاوت باشد. در ادامه چند روش متفاوت را برای به دست آوردن این اندازه بیان می کنیم، که برای جزئیات بیشتر می توان به(فصول ۹و۱۰ [۲۴]) و (پیوست الف -۳) مراجعه کرد:

۱) اندازه ی مینیمال فولمر-اسشویزر^[۶۴] [۲۴]

۲) تبدیل اشر^[۶۵] [۲۴]

۳) بیشینه کردن مطلوبیت^[۶۶] [۲۴].

۳-۳-۵ ارزش گذاری اختیارمعامله: فضای احتمال را در نظر می گیریم که در آن حرکت ارزش یک دارایی، ،دارای مدل لوی نمایی است:
جایی که یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی () است. بنابر قسمت قبل، اگر هیچ فرصت آربیتراژی وجود نداشته باشد، آن گاه اندازه ی مارتینگل، ، معادل با اندازه احتمال (اندازه ی احتمال اصلی بازار) وجود دارد، به طوری که فرایند تنزیل یافته ی تحت این اندازه (اندازه ی ریسک-خنثی) مارتینگل است.طبق قضیه ی ۲-۳-۱ این معادل است با

که

با توجه به ۳-۲-۳ ، ارزش اختیار معامله برابر است با امید شرطی تنزیل یافته از تابع جبرانی آن اختیار معامله، تحت اندازه ی ریسک-خنثی . اگر تابع جبرانیه ی اختیار معامله باشد، آن گاه ارزش این اختیار معامله برابر است با:
با بهره گرفتن از قضیه ی ۲-۲-۲ داریم:
با تغییر متغیر و و تعریف و داریم

با توجه به خاصیت (۲) فرایند های لوی و قاعده ی ۳ امید شرطی داریم:

با بهره گرفتن از تعریف ، وجایگزین کردن با داریم:

اگر تعریف کنیم ، آن گاه

اگر در دامنه ی مولد بی نهایت کوچک باشد یا به عبارت دیگر مشتقات اول و دوم موجود و پیوسته باشند، آن گاه با بهره گرفتن از نتیجه ی ۲-۲-۱۱ می توان نسبت به مشتق گرفت، بنابراین

که درآن

امّا باید توجه کرد که معمولاً تابع جبرانیه ی در دامنه ی مولد بی نهایت قرار ندارد(یعنی این که مشتقات اول و دوم وجود ندارند) برای مثال تابع جبرانیه ی اختیار فروش را در نظر می گیریم ( در آن قیمت ضربه ای است):

تابع بالا دیفرانسیل پذیر نیست، امّا تحت شرایطی اختیار معاملات اروپایی و با مانع را می توان به صورت معادله ی انتگرو دیفرانسیل جزئی بیان کرد. در قسمت بعد به این موضوع خواهیم پرداخت.

یک اختیار معامله ی اروپایی را با زمان سررسید و تابع جبرانیه ی ، در نظر می گیریم. اگر تابع جبرانیه ی در شرط لیپشیتز صدق کند، یعنی برای یک :

و ارزش این اختیارمعامله باشد، که

۳-۳-۶ قضیه (ارزش اختیار معاملات اروپایی به صورت یک ) : اگر باشد که در آن یک فرایند لوی است و همچنین در شرط زیر صدق کند:

و

یا

آن گاه ارزش اختیار معامله ی روی پیوسته است و روی، است و همچنیندر معادله ی

با شرط
صدق می کند.[۲۴]

تذکر: شرط (۱۷) یا (۱۸) همواری ارزش اختیار معامله را نسبت به دارایی پایه (بنیادین)،تضمین می کند.

۳-۳-۷ نتیجه: تحت شرط های (۱۷)، (۱۸)و (۱۹) و تعریف ، ، و تابع ، روی پیوسته است و همچنین روی ، می باشد و در معادله ی

با شرط اولیه ی ، به ازای هر ، صدق می کند. [۲۴]

۳-۳-۸ اختیار معاملات توأم با مانع و ارتباط آنها با : یک اختیار معامله ی را با زمان سررسید در نظر می گیریم. فرض کنیم قیمت ضربه ای و مانع (سطح مشخص) آن باشند. تابع جبرانیه ی آن به صورت زیر است:
ارزش این اختیار معامله، در زمان برابر است با ارزش تنزیل یافته ی تابع جبرانیه:

۳-۳-۹ گزاره: مارتینگل است. اثبات: بایستی ثابت کرد اگر ، آن گاه با توجه به (۲۰) داریم

با بهره گرفتن از قاعده ی ۶ امید شرطی اثبات کامل می شود.

اولین زمان خروج فرایند از بازه ی را به صورت زیر تعریف می کنیم:
و همچنین تعریف می کنیم:
که در آن

با توجه خاصیت قوی مارکوف، تعریف بالا به صورت زیر در می آید:

و قبل از آن که مانع قطع شود با هم برابر هستند:
در حالتی که باشد، داریم

فرض کنیم تابع در قرار دارد، یا به عبارت دیگر به اندازه ی کافی (یک مرتبه روی و دو مرتبه روی )هموار است. فرض کنیم باشد. با توجه به فرمول ایتو(فصل ۸ [۲۴]):

که در آن

در اینجا ، مولد بی نهایت کوچک تابع می باشد:

تابع مارتینگل است. زیرا با توجه به تعریف (۲۱) داریم.
و طبق گزاره ی ۳-۳-۹ نتیجه می گیریم که مارتینگل است. بنابراین باید بخش رانش (۲۲)برابر با صفر باشد یعنی:
که نتیجه می شود، با احتمال ۱ روی
پس، با احتمال ۱ داریم
امّا باید توجه داشت که تابع هموار نمی باشد، وجود همواری در فضاهای خاص امکان پذیر است که بنسوزان^[۶۷] [۱۴] به آن پرداخته است. پس اگر هموار باشد، قضیه ی زیر را برقرار است.

۳-۳-۱۰ قضیه: فرض کنیم ارزش اختیار معامله ی در یک مدل لوی نمایی با ضریب پخشی (تلاطم) و اندازه ی لوی باشد، آن گاه با بهره گرفتن از تغییر متغیر لگاریتمی

داریم

۳-۴ جواب های کلاسیک^[۶۸] و ویسکوزیته^[۶۹]

همان طور که در بخش قبل گفته شد، تحت یک شرایط خاص، معادلات برای اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع دارای جواب می باشند. امّا از آن جایی که تابع جبرانیه ی این نوع اختیار معاملات در دامنه ی تعریف صدق نمی کنند(همواری تابع جبرانیه ، یک مرتبه روی و دو مرتبه روی ) نیاز به تعریف فضای تابعی داریم، که این همواری برقرار باشد.در فضای تابعی خاص وجود و یکتایی جواب برای در نظر گرفته شده است، که می توان به ]۱۴و۳۴[ مراجعه کرد. این گونه جواب ها را جواب های کلاسیک می نامند. که به صورت دقیق تر می توان تعریف زیر را بیان کرد:

۳-۴-۱ تعریف(جواب های کلاسیک ): تابع هموار را یک جواب کلاسیک از مسأله ی ارزش گذاری اختیار معاملات گویند هرگاه مشتق آن نسبت به ، پیوسته و متعلق به دامنه ی تعریف، برای هر باشد و همچنین در شرط کرانداری مسأله ی و معادله ی
صدق کند.[۲۴]

در معادله ی ارزش گذاری ، پیدا کردن یک جواب کلاسیک ساده نیست و نیاز به فضای تابعی خاص داریم. در واقع این فضا باید به گونه ای باشد که جواب کلاسیک در دامنه ی قرار گیرد. در قسمت بعد یک نوع جواب های جدید را معرفی خواهیم کرد. این جواب ها فقط نیاز به پیوستگی دارند. که به آنها جواب های ویسکوزیته می گویند.

در ابتدا یک جواب هموار، معادله ی
را در نظر می گیریم که این جواب متعلق به است و همچنین تابع هموار را نیز در نظر می گیریم که

اگر یک نقطه ی ماکزیمم سراسری تابع باشد، یعنی
به دلیل این که یک نقطه ی ماکزیمم سراسری است پس

با توجه (۲۴)، (۲۵)، (۲۶)و جایگذاری در :

به طور مشابه ، اگر یک نقطه ی مینیمم سراسری تابع باشد، آن گاه داریم:
اگر معادلات (۲۷) و (۲۸) برای همه ی تابع های برقرار باشند و با توجه به این که در اصل ماکزیمم صدق می کند، به دست می آوریم:

همان طور که در (۲۷) و (۲۸) مشاهده شد، از مشتقات استفاده کردیم در صورتی که از مشتقات استفاده نشد و فقط پیوستگی آن لازم بود. این عقیده به مفهوم جواب های ویسکوزیته منجر شد و توسط کراندال^[۷۰] و لیونز^[۷۱] معرفی گردید[۲۸]. در ادامه به یک سری تعاریف مقدماتی برای تعریف مناسب جواب ویسکوزیته نیاز داریم ، که به آن خواهیم پرداخت. ۳-۴-۲ تعریف(تابع نیمه پیوسته ی بالا^[۷۲]): یک تابع به طور موضعی کراندار را نیمه پیوسته ی بالا گویند، اگر [۲۴].

۳-۴-۳ تعریف(تابع نیمه پیوسته ی پایین^[۷۳]): یک تابع به طور موضعی کراندار را نیمه پیوسته ی پایین گویند، اگر [۲۴].

۳-۴-۴ گزاره : اگر تابع هم نیمه پیوسته ی بالا و هم نیمه پیوسته ی پایین باشد، آن گاه پیوسته است.[۲۴]

۳-۴-۵ تعریف: کلاس توابع نیمه پیوسته ی بالا(متناظراً نیمه پیوسته ی پایین ) را با (متناظراً ) نمایش می دهند.[۲۴]

۳-۴-۶ تعریف: را مجموعه ای از توابع اندازه پذیر روی ، با چند جمله ای رشد از درجه در + ، و کراندار روی، می نامند. یا به عبارت دیگر
[۲۴].

می توان را برای به صورت

تعریف کرد، وقتی که . اولین عبارت انتگرالی در معادله ی (۳۰)، برای خوش تعریف است، زیرا برای ،

و اگر برای ،
باشد، آن گاه دومین عبارت انتگرالی در (۳۰) نیز خوش تعریف است و همچنین اپراتور برای هر خوش تعریف است. در واقع برای تعریف جواب ویسکوزیته نیاز به خوش تعریف بودن است که در بالا به آن اشاره شد و این معادل است با همواری (خوش تعریف بودن آن شرایط کافی را روی ارائه می دهد: ). شرط (۳۱)معادل است، با وجود گشتاور مرتبه -ام فرایند لوی که در این جا را برابر با ۲ در نظر می گیریم.

۳-۴-۷ تعریف (مسأله ی ارزش گذاری کراندار به صورت ): مسأله ی ارزش گذاری با شرایط اولیه و کرانداری را روی به صورت زیر تعریف می کنند:

که یک بازه ی باز ( کران های بازه ی می باشند ) و یک تابع پیوسته و می باشند[۲۴].

۳-۴-۸ تعریف(زیر جواب ویسکوزیته^[۷۴]): تابع را یک زیر جواب ویسکوزیته ، از مسأله ی ارزش گذاری در تعریف ۳-۴-۷ گویند ، اگر برای هر و هر نقطه ی ماکزیمم سراسری از تابع ، در شرایط زیر صدق کند: اگر

[۲۴].

۳-۴-۹ تعریف(زبر جواب ویسکوزیته^[۷۵]): تابع را یک زبر جواب ویسکوزیته ، از مسأله ی ارزش گذاری در تعریف ۳-۴-۷ گویند ، اگر برای هر و هر نقطه ی مینیمم سراسری از تابع ، در شرایط زیر صدق کند: اگر

[۲۴].

۳-۴-۱۰ تعریف (جواب ویسکوزیته): تابع را یک جواب ویسکوزیته گویند، اگر هم یک زیر جواب ویسکوزیته و هم یک زبر جواب ویسکوزیته باشد.[۲۴]

۳-۴-۱۱ گزاره: اگر یک جواب ویسکوزیته باشد ، آن گاه روی پیوسته است.[۲۴]

می توان وجود و یکتایی جواب های ویسکوزیته را در [۱۲]، برای مسأله ی ارزش گذاری، جستجو کرد. در واقع یکی از ابزارهای اصلی برای نشان دادن یکتایی این گونه جواب ها اصل مقایسه ای^[۷۶] است یا به طور معادل اگر و جواب های ویسکوزیته باشند و ، آن گاه برای همه ی ،

۳-۴-۱۲ قضیه (اصل مقایسه ای برای جواب های نیمه پیوسته): گیریم یک زیر حل و یک زبر حل از مسأله ی ارزش گذاری تعریف ۷-۴-۳ باشند و همچنین یک تابع پیوسته باشد، آن گاه
[۲۴]. در ادبیات مالی ، اصول مقایسه به راحتی به نامساوی آربیتراز برگردانده می شوند : اگر جبرانی نهایی یک اختیار معامله ی اروپایی ، جبرانی نهایی اختیار معامله ی اروپای دیگری را در تسلط خود داشته باشد، در این صورت ارزش آن ها باید در همان نامساوی (نامساوی آربیتراژ) صدق کند.[۲۴]

در ادامه به ذکر یک قضیه خواهیم پرداخت که ارزش های اختیار معامله های اروپایی و توأم با مانع را می توان به صورت جواب های ویسکوزیته از مسأله ی ارزش گذاری تعریف ۳-۴-۷، بیان کرد .

۳-۴-۱۳ قضیه(ارزش گذاری اختیار معاملات به عنوان جواب های ویسکوزیته): گیریم تابع جبرانیه ی در شرط لیپشیتز صدق کند:
و همچنین اگر ، که در شرط صدق می کند، الف) ارزش روبه جلو^[۷۷] یک اختیار معامله ی اروپایی تعریف شده در (۱۵) ، یک جواب ویسکوزیتهی منحصربه فرد از مسأله ی کوشی

است. ب) اگر ارزش رو به جلو از یک اختیار معامله ی توأم بامانع (منفرد یا مضاعف) تعریف شده در (۲۳)، پیوسته باشد، آن گاه یک جواب ویسکوزیته ی منحصر به فرد از مسأله ی ارزش گذاری تعریف ۳-۴-۷ می باشد .

اثبات:[۲۷].

فصل چهارم

حل معادلات با بهره گرفتن از روش های تفاضل متناهی

همان طور که در بخش قبل گفته شد ، خاصیت مارکوف این اجازه را به ما می‌دهد، که ارزش اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع را به صورت جواب های معادلات بیان کنیم. اخیراً مطالعات زیادی برای حل معادلات (برای مسأله‌های مشتقات مالی) صورت گرفته است که از جمله‌ی آن می‌توان به روش های عددی اشاره کرد، که در [۷و۳۱و۴۲و۵۲] به آن پرداخته شده است. در واقع در بسیاری از موارد، به صورت تحلیلی نمی‌توان مسأله‌ی را حل نمود. بنابراین مجبور هستیم به سراغ روش های عددی برویم. روش های عددی دارای گونه‌های مختلف می‌باشند. یکی از این روش ها، روش های تفاضل متناهی است که در [۷و۳۱و۵۱] پیشنهاد شده است. اما در این مقالات به تحلیل همگرایی، سازگاری و پایداری روش ارائه شده ، پرداخته نشده است. در این بخش به ارائه‌ یک روش تفاضل متناهی خواهیم پرداخت و همچنین همگرایی، سازگاری و پایداری این روش را نیز بررسی خواهیم کرد و در پایان یک نرخ همگرایی برای روش ارائه شده به دست خواهیم آورد.

۴-۱ روش های تفاضل متناهی برای معادلات : روش های تفاضل متناهی، روش های تقریبی برای معادلات دیفرانسیل جزئی هستند که اساس آنها با جایگزینی مشتقات جزئی با تفاضلات متناهی در معادله‌ی ارزش گذاری است. در معادلات یک عبارت انتگرالی نیز وجود دارد که می‌توان آن را با مجموع‌های ریمان تخمین زد. مسأله‌ی ارزش گذاری ، تعریف شده در ۳-۴-۷ را در نظر می‌گیریم:

که در آن

و به طوری که یا . در ساختار یک روش تفاضل متناهی برای معادلات سه مرحله ی اصلی وجود دارد:

۱٫موضعی سازی^[۷۸] اگر معادله ی روی یک دامنه ی بی کران باشد آن را با یک برش، به یک دامنه ی کراندار تبدیل می کنیم. در مساًله ی ارزش گذاری اختیار معاملات اروپایی که بایستی را با یک بازه ی کراندار برش دهیم اما در مساله ارزش گذاری اختیار معاملات توام بامانع شرایط کرانداری به طور طبیعی وجود دارد(یعنی خارج از بازه ی مورد نظر تابع جبرانیه صفر است) همچنین در عبارت انتگرالی معادله ی باید بازه ی انتگرال را برش داد(موضعی سازی کرد). که هر دوی این برش ها یا موضعی سازی منجر به یک خطا می شوند که با انتخاب مناسب برش می توان عبارت های در را تخمین و کنترل کرد.

۲٫تقریب پرش های کوچک^[۷۹] هنگامی که اندازه ی لوی (فرایند لوی) در صفر واگرا باشد یا به عبارت دیگر، فرایند لوی با فعالیت متناهی باشد می توان پرش های کوچک فرایند لوی را به وسیله ی یک حرکت براونی تقریب زد(بخش۲-۳).

۳٫گسسته سازی^[۸۰] برای حل معادلات ، بازه های پیوسته ی به حالت گسسته تبدیل می شوند در واقع یک شبکه ساخته می شود بدین صورت که: الف) گسسته سازی فضا: دامنه ی مکانی مسأله ی را با یک شبکه ی گسسته و اپراتور را با یک ماتریس جایگزین می کنند در واقع بردار

متناظر با نقاط شبکه است (معادل با جواب های مسأله ی) بنابراین
ب)گسسته سازی زمان: مشتق نسبت به زمان را با یک تفاضل متناهی جایگزین می کنند(برای این کار چندین انتخاب وجود دارد.).

حال هریک از موارد بالا را به طور مفصل تر بررسی خواهیم کرد.

۴-۱-۱ موضعی سازی به یک دامنه ی کراندار محاسبات عددی فقط روی دامنه های متناهی عمل می کنند، بنابراین در اولین گام برای حل مسأله ی ارزش گذاری ، دامنه ی آن را به یک دامنه ی کراندار کاهش می دهیم (در واقع دامنه را برش می دهیم.) در مسأله ی (۳۲) بازه ی را به یک بازه ی کراندار، ، برش می دهیم. همچنین فرض می کنیم جواب مسأله ی موضعی سازی شده باشد، پس مسأله ی در (۳۲) به صورت زیر تعریف می شود:

که در آن و یا هستند. موضعی سازی دامنه یا برش آن منجر به یک خطا می شود که در قضیه ی زیر آن را به دست خواهیم آورد. قبل از بیان قضیه نیاز به مقدماتی است که در ادامه به آن پرداخته می شود.

۴-۱-۲ تعریف: تابع روی زیرضربی است ، اگر و تنها اگر، نامنفی باشد و به طوری که
[۴۷].

۴-۱-۳ قضیه: اگر یک فرایند لوی روی باشد و
همچنین یک تابع پیوسته ی زیرضربی نامنفی روی باشد. اگر هنگامی که ، ، آن گاه چهار حالت زیر معادل اند: الف) برای حداقل یک ، . ب) برای هر ، . پ) برای حداقل یک ، . ت) برای هر ، . اثبات: (قضیه ی ۲۵٫۱۸ [۴۷]). ۴-۱-۴ قضیه(نامساوی چبیشف): اگر متغیری تصادفی و تابعی نامنفی با قلمرو اعداد حقیقی باشد ، آن گاه

۴-۱-۵ قضیه: اگر (تابع جبرانیه) کراندار باشد و
همچنین جواب مسأله ی (۳۲) و جواب (ویسکوزیته ی) مسأله ی(۳۳) باشند، آن گاه
که در آن ثابت ، به بستگی ندارد.

اثبات: تعریف می کنیم
بنا بر تعریف (فصل سوم) داریم
اگر باشد و با توجه به این که بایستی در بازه ی قرار گیرد، می توان نتیجه گرفت
حال اگر باشد و اولین زمان خروج از بازه ی به صورت
باشد،

برای اثبات دو حالت را باید اثبات کرد: الف)اگر باشد، با بهره گرفتن از(۳۵) و (۳۶) داریم

با توجه به تعریف امید ریاضی و خواص آن(فصل اول) ونامساوی جنسن
ب) اگر باشد، با بهره گرفتن از نامساوی مثلثی و جنسن

بنابراین در هر دو حالت الف وب
حال

با بهره گرفتن از (۳۹) و (۴۰)

بنابر قضیه ی چبیشف

اگر باشد، آن گاه یک تابع صعودی زیر ضربی است، پس طبق قضیه ی ۴-۱-۳ و (٣۴) نتیجه می گیریم:

با تعریف ،
بنابراین اثبات کامل است.

همان طور که می دانیم، جبرانیه ی اختیار فروش اروپایی به صورت
می باشد. بنابراین ، پس می توان قضیه ی قبل را برای این نوع اختیار معاملات به کار برد. اما یک اختیار خرید اروپایی در شرط کرانداری صدق نمی کند ولی با بهره گرفتن از رابطه برابری اختیار خرید و فروش (فصل ۳) داریم:

و با توجه به این که اختیار فروش در شرط کرانداری صدق می کند، برای یک اختیار خرید، خطای برش کوچکتر خواهد بود.

۴-۱-۶ نتیجه: تحت فرضیات قضیه ی ۵-۱-۴ ، برای هر زیر بازه ی بسته ی ، که ، خطای موضعی سازی با کم شدن اندازه ی دامنه کاهش می یابد:

اثبات: با توجه به فرض بنابراین . همچنین با بهره گرفتن از قضیه ی ۴-۱-۵

با انتخاب اثبات کامل است.

۴-۱-۷ تذکر: فرض (٣۴) در قضیه ی ۴-۱-۵ به این معنی است که، دم های بایستی به طورنمایی کاهشی باشند. با توجه به قضیه ی ۲-۳-۱، برای همه ی
پس می توان نتیجه گرفت که فرض (۳۴) ، یک شرط روی پرش های منفی است.

همان طور که گفته شد، برای حل عددی معادله ی باید بازه ی انتگرال را نیز برش دهیم (تبدیل به یک بازه ی کراندار شود) در فرایندهای پرشی ، این به معنی برش پرش های بزرگ است.

حال مسأله ی (۱۶) را در نظر می گیریم و همچنین فرض می کنیم تابع جبرانیه ی در شرط لیپشیتز صدق کند. بنابراین با توجه به (۱۴) جواب مسأله ی (۱۶) را به صورت زیر است:

که در آن یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی است.

تجزیه ی لوی – ایتو فرایند را در نظر می گیریم و انتگرال متناظر با پرش های بزرگ را با بازه ی کراندار برش می دهیم. فرایند تصادفی جدید را می نامیم. که دارای سه تایی مشخصه ی
می باشد. را می توان به صورت های مختلف تعریف کرد. اما ما آن را به گونه ای در نظر می گیریم که مارتینگل باقی بماند (تحت اندازه ی ریسک خنثی ) بنابراین

۴-۱-۸ گزاره: ، مارتینگل است. اثبات: با بهره گرفتن از (۱۲) و قضیه ی ۱-۳-۲ اثبات محقق می شود.

حال بعد از برش انتگرال به یک بازه ی کراندار ، جواب مسأله ی جدید را به صورت زیر است:

برش انتگرال به صورت بالا، منجر به خطا می شود که در قضیه زیر به آن می پردازیم.

۴-۱-۹ قضیه: اگر که در شرط لیپشیتز صدق کند، ، و به طوری که

آن گاه

اثبات: تعریف می کنیم و همچنین فرض کنیم  ( عملگر تکین بودن) ، بنابراین

با بهره گرفتن از شرط لیپشیتیز و نامساوی جنسن نتیجه می گیریم:

حال ثابت می کنیم

برای اثبات دو حالت را در نظر می گیریم:

الف) اگر ، و از طرفی بنابراین در این حالت شرط (۴۳) برقرار است. ب) اگر ، و
پس در این حالت نیز شرط (۴۳) برقرار است.

با در نظر گرفتن و با توجه به این که داریم:

به دلیل این که مجموع دو فرایند لوی است(قضیه ی ۴٫۱ [۲۴])، بنابراین یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی
است وقتی که
با قرار دادن که در آن ، یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی

است و نیز یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی
می باشد. بدون از دست دادن هیچ کلیتی می توان فرض کرد که، (در واقع برقراری رابطه (۴۲)به مقادیر و بستگی ندارد).

اگر تعریف کنیم ، آن گاه ، زیرا دارای بخش رانش نامنفی ، بدون مولفه ی براونی ، و فقط دارای پرش های مثبت کران دار از پایین به وسیله ی ، است و همچنین فقط دارای پرش های منفی کران دار از بالا به وسیله ی و بخش رانش نامثبت است. پس ، بنابراین
با توجه به قضیه ی (۳٫۱۳ [۲۴])

با توجه به این که

در نتیجه

با بهره گرفتن از فرضیات روی ، به دست می آوریم

بنابر (۴۱) ، انتگرال های در عبارت بالا کراندار هستند بنابراین

و با جایگذاری در (۴۴) اثبات محقق می شود.

فرض های در مورد در قضیه ی ۴-۱-۹ نسبت به فرضیه های قضیه ی ۵-۱-۴ کمی قویتر هستند. در قضیه ی ۴-۱-۹ می توان به جای خطای برش (۴۲) مستقیماً از (۴۶) استفاده کرد ، که در این صورت شرط های روی ، (۴۱) ، ضروری به نظر نمی رسند. اما باید توجه داشت ، که ممکن است انتگرال های (۴۶) وجود نداشته باشند.

۴-۱-۱۰ گسسته سازی فضا: مرحله ی بعد از موضعی سازی برای حل معادله ی ،گسسته سازی فضا می باشد.در واقع زمان و مکان را تقسیم بندی می کنیم و یک شبکه ساخته خواهد شد که به صورت زیر تعریف می شود:
و همچنین فرض می کنیم جواب معادله ی روی نقاط این شبکه باشد.

ایده ی اصلی روش های عددی تفاضل متناهی، برای حل معادلات (معادله ی (۳۲)) تفکیک اپراتوربه دو بخش است:

که بخش دیفرانسیل و بخش انتگرال ، اپراتور می باشند. برای ارائه ی روش های تفاضل متناهی دو حالت را در نظر می گیریم:

الف) در حالتی که مدل با فعالیت متناهی باشد (با نرخ متناهی). ب) در حالتی که مدل با فعالیت نامتناهی باشد.

۴-۱-۱۱ روش های تفاضل متناهی در مدل های با فعالیت متناهی: همان طور که در بخش ۲ گفته شد ، در مدل های با فعالیت متناهی است. در این حالت فرض می کنیم . بنابراین اپراتور در معادله ی (۳۲) به صورت زیر است:

اگر برش انتگرال را بازه ی در نظر بگیریم،

در نتیجه

که .

برای تقریب ، عبارت های انتگرالی از روش ذوزنقه ای استفاده می کنیم. برای این کار فرض می کنیم و به گونه ای باشند که . بنابراین با بهره گرفتن از روش ذوزنقه ای ،

همچنین مشتقات جزئی اپراتور را ، با تفاضلات متناهی جایگزین می کنیم:

در تقریب مشتق جزئی مرتبه ی اول دو حالت را در نظر گرفته ایم ، که این شروط برای برقراری پایداری می باشند. (پایداری را در قسمت همگرایی بحث خواهیم کرد) بدون از دست دادن هیچ کلیتی حالت را در نظر خواهیم گرفت(علت آن را در قسمت همگرایی خواهیم گفت) ، در نتیجه با بهره گرفتن از (۴۷)،(۴۸) و (۴۹)

۴-۱-۱۲ روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی^[۸۱] و الگوریتم آن (در حالت اول): مسأله ی (۳۲) را در نظر می گیریم، با بهره گرفتن از (۵۰) و می توان تعریف کرد:

روش بالا ، به روش صریح مشهور است . (انتخاب های متفاوتی برای در سمت راست (۵۱) وجود دارد.) روش دیگری نیز که مشهور به روش ضمنی است ، به صورت زیر تعریف می شود:

روش های بالا را می توان در یک فرم کلی ارائه کرد ، یا به عبارت دیگر

اگر ، همان روش صریح است . اگر باشد، یک روش شبیه روش ضمنی می باشد . به همین دلیل است که روش بالا را ، روش می نامند.

بحث روی پیچدگی محاسبات در هر مرحله در مقابل تعداد مراحل نشان می دهد، اگر باشد، آن گاه روش ضمنی یک روش مناسب است و هنگامی که ، انتخاب روش صریح مناسب تر است. (برای جزئیات بیشتر به [۲۴] مراجعه شود) اما اگر و در معادله وجود داشته باشند، از تفکیک اپراتور استفاده می کنیم . یعنی این که ترکیبی از دو روش صریح و ضمنی را به کار می بریم، که به روش صریح – ضمنی معروف است و بدین صورت تعریف می شود.

در نهایت الگوریتم روش صریح- ضمنی به صورت زیر است:

۱) شرایط را به صورت زیر جایگزین می کند:

۲) برای حل می کند:

(۵۲)

حال روش صریح – ضمنی را برای مسأله ی در حالت دوم بررسی خواهیم کرد:

۴-۱-۱۳ روش های تفاضل متناهی در مدل های با فعالیت نامتناهی: در بخش (۲) دیدیم که در مدل های لوی با فعالیت نامتناهی، است پس روش قسمت قبل را مستقیماً نمی توان به کار برد. به عبارت دیگر، هنگامی که اندازه ی لوی در نزدیکی صفر تکین باشد، روش قبل ( صریح- ضمنی) را نمی توان استفاده کرد . در فصل ۲ (۵-۳-۲) مشاهده کردیم که هر فرایند لوی با فعالیت نامتناهی را می توان با یک فرایند پواسون ترکیبی ، با برش اندازه ی لوی در نزدیکی صفر تقریب زد ، یا به طور معادل ، پرش های کوچک فرایند لوی را به وسیله ی یک حرکت براونی تقریب زد. بنابراین فرایند (یک فرایند لوی با فعالیت نامتناهی) با یک فرایند با فعالیت متناهی و یک ضریب دیفیوژن اصلاح شده ، تقریب زده می شود.

فرض کنیم که داده شده باشد . طبق ۵-۳-۲ تقریب فرایند را به صورت در نظر می گیریم که یک فرایند لوی با سه تایی مشخصه ی می باشد ، که در آن

و این انتخاب به گونه ای است که مارتینگل شود.

حال تابع (جواب مسأله ی ) به صورت زیر تعریف است:

که در مسأله ی کوشی زیر صدق می کند:

جایی که

در نتیجه با تقریب فرایند لوی با فعالیت نامتناهی با یک فرایند لوی با فعالیت متناهی ، حالت دوم به حالت اول مبدل گردیده است . بنابراین روش صریح – ضمنی را می توان در این حالت نیز به کاربرد.

در ادامه روش محاسبه ی نرخ همگرایی را برای تقریب ارائه می دهیم:

۴-۱-۱۴ قضیه: فرض کنیم در شرط لیپشیتز صدق کند: و و جواب های مسأله ی (۳۲) و (۵۳) باشند، آن گاه که در آن یک مقدار ثابت است.

اثبات: تعریف می کنیم ، با توجه به تعریف و

چون در شرط لیپشیتتز صدق می کند(طبق فرض) بنابراین تقریباً همه جا با شرط ، دیفرانسیل پذیر است. با بهره گرفتن از قضیه ی ۲-۳-۶ داریم
که و همچنین با توجه به شرط لیپشیتنر و نامساوی جنسن

بنابر تعریف و

با توجه به ۲-۳-۵، ، نتیجه می گیریم

به این دلیل که، ، پس همگرایی(۵۵) سریعتر از (۴۲) است ، بنابراین می توان از (۵۵) چشم پوشی کرد و با قرار دادن به نتیجه ی مطلوب رسید.

۴-۱-۱۵ نتیجه: اگر ، که ، آن گاه

تقریب نتیجه ی بالا ، با متناسب است و همه ی مثال های عملی استفاده شده در ارزش گذاری اختیار معاملات

این گونه هستند( مانند مدل واریانس گاما و ).[۲۶]

۴-۲ همگرایی

در بخش قبل، روش صریح – ضمنی را برای حل معادله ی بیان کردیم، در این قسمت قصد داریم همگرایی این روش تفاضل متناهی را مطالعه کنیم . در واقع همگرایی ، سازگاری ، پایداری و یکنوایی روش ارائه شده را مورد تجزیه تحلیل قرار می دهیم.

در رویکرد معمول از معادله های ، طبق تئوری هم ارزی لاکس^[۸۲] (تئوری ساختاری تحلیل عددی) رابطه زیر برقرار است[۳۲]: همگرایی پایداری + سازگاری

۴-۲-۱ یکنوایی: یکی از خاصیت های مهم برای روش های عددی خاصیت یکنوایی می باشد. این خاصیت در ارزش گذاری، اصل مقایسه ای را تضمین می کند. همان طور که قبلاً ذکر شد(فصل (۳)) برقراری اصل مقایسه ای نیز برای جواب عددی، منجر به برقراری نامساوی آربیتراژ می گردد. در واقع اگر این اصل برقرار باشد یک تقریب بدون آربیتراژ برای به دست خواهیم آورد(قضیه ی ۳-۴-۱۲).

۴-۲-۲ قضیه: روش صریح- ضمنی یکنواست: اگر و شرط اولیه ی کراندار باشند ، آن گاه اثبات : عبارت (۵۲) را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:
با بهره گرفتن از تعریف و داریم

و در نتیجه

با قرار دادن

و با جایگذاری ، و در (۴-۲-۲)

در ۴-۱-۱۱ ، را منفی در نظر گرفتیم ، که از آن نتیجه می شود:

اگر باشد، تقریب مشتق مرتبه ی اول را ، در نظر می گیریم که باز هم a ، b و c نامنفی خواهند بود. در واقع برای اثبات یکنوایی (و پایداری)، نامنفی بودن ، و لازم است. بنابراین بدون از دست دادن هیچ کلیتی می توان فرض کرد که باشد. با توجه به تعریف a ، b و c داریم:

حال فرض کنیم و دو جواب مسأله ی (۵۲) با شرایط اولیه ی متناظر و باشند و همچنین فرض کنیم برای همه ی ، .

برای همه ی ، با استقراء ثابت می کنیم : اگر

فرض می کنیم برای ، و همچنین .

به دلیل این که برای ،

پس ، به طوری که

که با فرض متناقض است، بنابراین و از آن نتیجه می شود .

۴-۲-۳ پایداری: حساسیت جواب یک مسأله ی مقداراولیه با شرایط اولیه یک قضیه ی مهم در تئوری و کاربرد معادله ی دیفرانسیل است . هنگامی که یک معادله ی دیفرانسیل را برای یک مدل به کار می بریم ، در حقیقت شرایط اولیه به طور کلی نامعین است ، در عوض ممکن است بازه ی شرایط اولیه کوچک باشد. بنابراین برای ارزیابی مقدار خطا در پیشگویی مدل مهم است که بدانیم آیا جواب ها که به ازای نقطه اولیه ی نزدیک به یکدیگر هستند ، در مقادیر دیگر هم نزدیک به یکدیگر باقی می مانند. یک مسأله ی مقدار اولیه که جواب آن به تغییرات کوچک در مقدار اولیه کمی حساس است را پایدار می نامند(هنگامی که (زمان) افزایش می یابد) ، در غیر این صورت آن را ناپایدار می نامند. اگر تمام جواب های یک معادله ی دیفرانسیل پایدار باشند ، معادله را پایدار می نامند و همچنین اگر همه ی جواب ها ناپایدار باشند معادله را ناپایدار می گویند . اگر یک معادله ناپایدار باشد و در یک بازه ی طولانی از آن استفاده کنیم ، یک خطای کوچک در شرایط اولیه می تواند منجر به خطای بزرگی در ادامه شود . حال به طور دقیق به تعریف پایداری می پردازیم .

۴-۲-۴ تعریف (پایداری) : روش صریح- ضمنی پایدار است ، اگر و فقط اگر ، برای یک شرط اولیه ی کراندار ، جواب در همه ی نقاط شبکه (روی )به طور یکنواخت ، مستقل از و ، کراندار باشد:

در واقع پایداری بیان می کند که ، جواب عددی در یک نقطه ی داده شده ( یا به طور معادل ، ارزش اختیار معامله برای یک دارایی بنیادین /تاریخ داده شده) هنگامی که ، انفجار پیدا نمی کند .[۲۴]

۴-۲-۵ قضیه: اگر باشد، روش صریح- ضمنی پایدار است .

اثبات :]۲۶[ .

حال مسأله ی (۵۲) را به فرم دیگری بازنویسی خواهیم کرد .

۴-۲-۶ تعریف: مسأله ی (۵۲) را به صورت زیر تعریف می کنیم:

(۵۹)

و را جواب مسأله ی بالا روی شبکه ی می نامیم.

۴-۲-۷ تعریف: یک تابع تعریف شده روی را یک زبر جواب از مسأله ی (۵۹) گویند، هرگاه

و تابع تعریف شده روی را یک زیر جواب از مسأله ی (۵۹) است، اگر

نتیجه زیر ، اصل مقایسه ای گسسته را برای جواب و زیر جواب (که به صورت بالا تعریف شده اند) توسعه می دهد.

۴-۲-۸ لم: برای هر زبرجواب و زیر جواب از مسأله ی (۴-۲-۴)، روی شبکه ی داریم

اثبات: سه حالت را در نظر می گیریم الف)اگر باشد، با توجه به تعریف

بنابراین

ب) اگر ، با بهره گرفتن از تعریف

که نتیجه می شود:

اگر و با بهره گرفتن از خاصیت یکنوایی روش صریح- ضمنی نتیجه حاصل می شود . در واقع اگر

آن گاه برای به دست می آوریم:

بنابراین اثبات کامل است.

۴-۲-۹ تعریف(سازگاری): روش تفاضل متناهی را با معادله ی سازگار گویند ، هر گاه برای هر تابع هموار ، هنگامی که ( ،

سازگاری بدین معنی است که معادله ی گسسته ، معادله ی پیوسته را تقریب می زند ( در واقع بیان نمی کند جواب معادله ی پیوسته را تقریب می زند).[۲۴]

روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی برای هر تابع هموار، با معادله ی سازگار نمی باشد. در قضیه ی بعد سازگاری روش را در نرم یکنواخت برای کلاسی از توابع نشان خواهیم داد (در واقع نشان می دهیم روش تفاضل متناهی به طور موضعی با معادله ی سازگار است):

۴-۲-۱۰ قضیه (سازگاری در نرم یکنواخت): اگر

آن گاه برای هر و هر ،

به طوری که

اثبات : ابتدا فرض می کنیم :
در واقع باید ثابت کنیم عبارت (۶۱) توسط کراندار است و از
مستقل است و همچنین هنگامی که .

بنابراین برای اثبات تک تک مولفه ها را بررسی می کنیم. طبق خاصیت نرم یکنواخت

با توجه به این که به طور یکنواخت پیوسته است (طبق فرض) پس عبارت بالا ، هنگامی که برود ، به صفر میل می کند.

حال عبارت (بخش دیفرانسیلی )را در نظر می گیریم. با بهره گرفتن از بسط تیلور برای مرتبه ی دوم

با توجه به این که به طور یکنواخت پیوسته است(بنا بر فرض) وقتی که برود ، عبارت بالا به سمت صفر میل می کند. به طور مشابه برای داریم

برای عبارت نیز با توجه به (۴۷)

با توجه به این که است هنگامی که و ، بنابراین

با بهره گرفتن از (۶۲) ، (۶۳) ، (۶۴) و همچنین پیوستگی یکنواخت روی داریم

بخش انتگرال نیز با بهره گرفتن از تعریف به صورت زیر تخمین زده می شود:

با ترکیب (۶۵) و (۶۶) اثبات کامل می شود.

۴-۲-۱۱ همگرایی: یک رویکرد معمول برای به دست آوردن همگرایی روش های تفاضل متناهی این است که سازگاری و پایداری تحت یک سری فروض با قاعده روی جواب (همواری جواب)، همگرایی را نتیجه می دهد (تئوری لاکس). اما این رویکرد برای روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی قابل قبول نمی باشد، زیرا ممکن است جواب ها ناهموار باشند و مشتقات مراتب بالاتر موجود نباشند . برای مثال ، در مدل واریانس گاما ارزش اختیار خرید متعلق به می باشد اما در قرار ندارد [۲۴]. در اینجاست که جواب های ویسکوزیته نجات بخش ما می باشند . در واقع بارلس^[۸۳] و سوگانیدیس^[۸۴] [۱۲] نشان دادند که هر روش تفاضل متناهی ( برای معادلات سهموی ) که پایدار، یکنوا و به طور موضعی سازگار باشد، روی هر زیر مجموعه ی فشردهی به طور یکنواخت به یک جواب ویسکوزیته ی پیوستهی یکتا همگراست ، حتی هنگامی که جواب ها هموار نباشند. این نتیجه میتواند به توسعه داده شود. در واقع عقیده ی بارلس و سوگاندیس این است که حدهای نقطه ای را به صورت زیر نشان می دهند:

و زیر و زبر جواب ها را تعریف می کنند، سپس با بهره گرفتن از آن و اصل مقایسه ای نتیجه می گیرند:

همان طور که گفته شد، روش صریح- ضمنی، یکنوا و به طور موضعی سازگار است اما اصل مقایسه ای برای مسألهی نیاز به خاصیت پیوستگی یکنواخت دارد که ممکن است برای و تعریف شده در بالا برقرار نباشد . بنابراین نمی توان ، نتایج بارلس و سوگانیدیس را مستقیماً به کاربرد. برای این کار ما زیر و زبر جواب های پیوسته را تعریف می کنیم و از آن نامساوی های مرتبط با و را به دست خواهیم آورد .

۴-۲-۱۲ تعریف: یک تابع یک زبرجواب هموار مسألهی (۳۲) است، اگر در نامساوی های زیر صدق کند:

[۲۶].

۴-۲-۱۳ تعریف: یک تابع یک زیرجواب هموار مسألهی (۳۲) است، اگر در نامساوی های زیر صدق کند:

[۲۶].

۴-۲-۱۴ لم: اگر و به ترتیب یک زبرجواب و زیرجواب از مسأله ی (۳۲) باشند، آن گاه برای همه ی ، به طوری که

اثبات : را به گونه ای انتخاب می کنیم که و همچنین فرض می کنیم

ثابت می کنیم یک زیرجواب از مسأله ی تعریف شده در ۴-۲-۷ می باشد، برای این کار سه حالت را در نظر میگیریم:

الف)اگر ، بنابر ۴-۲-۷

ب) اگر ، بنابر ۴-۲-۷

پ) اگر و ، داریم

با توجه به قضیه ی۴-۲-۱۰، هنگامی که و ( ، عبارت بالا روی به طور یکنواخت به سمت عبارت زیر میل می کند:

بنابراین برای و به اندازه ی کافی کوچک و همچنین داریم

با بهره گرفتن از (۵۹) عبارت بالا را می توان به صورت زیر نوشت :

از (۶۸) ، (۶۹) و (۷۰) نتیجه می شود که یک زبر جواب از مسأله ی ۷-۲-۴ می باشد و همچنین با به کار بردن لم ۴-۲-۸ نتیجه می گیریم به ازای هر و :

کران پایین ، یعنی ، به طور مشابه اثبات می گردد.

۴-۲-۱۵ نتیجه: اگر و تابع های تعریف شده در (۶۷) باشند. آن گاه برای هر زیر و زبرجواب هموار و مسأله ی (۳۲) و همه ی :

اثبات: با بهره گرفتن از تعریف حدهای بالا و پایین و لم۴-۲-۱۴ نتیجه حاصل می شود.

حال آماده ایم که نتیجه ی مهم این بخش یعنی همگرایی روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی را ارائه دهیم.

۴-۲-۱۶ قضیه: مسأله ی ارزش گذاری اروپایی() را ، با در نظر می گیریم. اگر یک تابع تکه ای پیوسته کراندار روی باشد، آن گاه برای همه ی و، جواب مسأله ی گسسته به جواب مسأله ی پیوسته همگرا است:

اثبات: فرض کنیم و به طوری که . تعریف می کنیم و . با توجه به این که و ، بنابراین و در دامنه ی مولد بی نهایت کوچک قرار می گیرند و طبق قضیه ی ۲-۲-۱۰، و جواب هایی در از مسأله ی (۳۲) می باشند و همچنین نتیجه می گیریم و یک زیر و زبر جواب از مسأله ی کوشی (۳۲) می باشند.

بنابر نتیجه ی ۴-۲-۱۵
اگر و به طور دلخواه خیلی کوچک باشند ، نتیجه می شود :

بنابراین این قسمت از اثبات باقی ماند که تقریب های هموار مناسب را از بسازیم. برای این کار فرض می کنیم نقاط ناپیوستگی باشند و همچنین پرش های به وسیله ی ثابت کراندار هستند و به ازای داده شده، را به گونه ای انتخاب می کنیم که

پس با توجه به بالا و این که احتمال کوچکتر مساوی ۱ است:

تعریف می کنیم

پس

با توجه به این که ، پس برای ، دارای توزیع به طور مطلق پیوسته است . در نتیجه

بنابراین

در نتیجه

بنابر (۷۱) و (۷۲)

۴-۲-۱۷ تذکر: در قضیه ی ۴-۲-۱۶ فرض شد که است. این فرض را برای همه ی مدل های مالی می توان در نظر گرفت ، زیرا در بخش ۲-۳ یک عبارت معرفی شد حتی در حالتی که مدل پرشی محض با باشد.

۴-۲-۱۸ نتیجه: اگر ، آن گاه

نتیجه ی بالا نشان می دهد، روش صریح- ضمنی برای شرط آغازین در نقاط ناپیوستگی از همگرا نمی باشد. امّا در عمل مهم نمی باشد ، زیرا ما نیاز به محاسبه ی جواب عددی در نداریم .

قضایای ۴-۱-۱۵ و ۴-۱-۱۶ این اجازه را به ما می دهد که ارزش گذاری اختیارمعاملات را در مدل های لوی نمایی(در بخش ۲) محاسبه کنیم. امّا قضیه ی ۴-۲-۱۵ نرخ همگرایی را به دست نمی دهد . در قسمت بعد یک تخمین را برای نرخ همگرایی به دست خواهیم آورد .

در ساختار جواب های ویسکوزیته، نتایج نرخ های همگرایی برای روش های عددی معادلات مرتبه ی اول توسط کراندل و لیونز^[۸۵] [۲۹] و برای معادلات سهموی مرتبه ی دوم توسط کریلوف^[۸۶] [۳۹و۴۰] بیان شده اند ما رویکردی شبیه [۴۰] خواهیم داشت اما یک کران بهتر را به دست خواهیم آورد.

در ابتدا روش صریح ضمنی را به صورت زیر بازنویسی می کنیم:

(۷۳) که در آن :

و

شبکه ی را در نظر می گیریم که و هستند فرض کنیم داده شده است. را فضای توابع کراندار روی
با فرم

می نامیم و همچنین برای

قبل از این که نرخ همگرایی را ارائه دهیم نیاز به ذکر مقدماتی داریم که در ادامه بیان خواهیم کرد.

۴-۲-۱۹ تعریف: اگر تابعی از مجموعه ای مانند در خودش باشد. نقطه ی را یک نقطه ثابت برایمی نامند، هرگاه .[۲]

۴-۲-۲۰ قضیه: اگر یک فضای متریک فشرده باشد و تابع به ازای هر در رابطه صدق کند آن گاه دقیقاً یک نقطه ی ثابت دارد.

اثبات: [۲].

۴-۲-۲۱ تعریف: اگر فضایی متریک باشد. تابع را یک انقباض می نامند، هرگاه عددی مانند وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر متعلق به ،
عددیک ثابت انقباض نام دارد. [۲]

۴-۲-۲۲ قضیه: اگر هر تابع انقباض مانند که روی یک فضای متریک کامل مانند معین باشد، آن گاه دقیقاً یک نقطه ی ثابت دارد. یعنی نقطه ی منحصربه فردی مانند هست به طوری که . اثبات: [۲].

۴-۲-۲۳ لم: برای ،مسأله ی زیر را در نظر می گیریم :

که . الف) برای هر مسأله ی بالا یک جواب منحصر به فرد به صورت دارد.

ب) اگر باشد به طوری که و ، آن گاه
اثبات: الف) ابتدا (۷۴) و (۷۵) را به صورت در نظر می گیریم. تعریف می کنیم (۷۶)
به طوری که

یکنواست یا این که اگر آن گاه . بنابر (۷۳) داریم

برای کوچک (مثلاً ) داریم
حال تعریف می کنیم

بنابراین (۷۴) و (۷۵) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

که در آن ، یا به طور معادل

جایی که
(۷۸)

بنابراین به عنوان یک اپراتور، روی تعریف می شود. حال ثابت می کنیم که یک انقباض است. بنابر (۷۸) داریم:

به دلیل این که و همچنین یکنواست ، نتیجه می گیریم با بهره گرفتن از (۷۷)
با توجه به این که (۷۶)، پس می باشد بنابراین یک انقباض است و با بهره گرفتن از قضیه ی ۴-۲-۲۲ اثبات کامل است. ب) ابتدا بدون از دست دادن هیچ کلیتی ، برای همه ی و ها فرض می کنیم و نشان می دهیم . برای این کار قرار می دهیم . با بهره گرفتن از استقراء داریم
فرض می کنیم و همچنین اگر داده شده باشد ، را برای همه ی ها به گونهای انتخاب می کنیم که
در نتیجه، برای همه ی ، با توجه به (۵۸)

با توجه به این که (فرض استقراء) و مثبت هستند ، بنابراین
هنگامی که میل کند ، نتیجه می گیریم پس .

اکنون ، حالت کلی را در نظر می گیریم ، برای این کار قرار می دهیم

(۷۹) در نتیجه جواب مسأله ی (۷۴) و (۷۵) با است. با جایگذاری (۷۹) در عبارت بالا داریم


با توجه به (۷۵) بنابراین

حال ، با توجه به تعریف (۷۳) نتیجه می گیریم

با قرار دادن این عبارت در (۸۰) به دست می آوریم :
بنابر فرض ، پس

که نتیجه می شود ، بنابراین

در نتیجه
با تعویض و اثبات تمام می شود .

قبل از ادامه ی بحث ، یک فرض روی تابع جبرانیه ی در نظر خواهیم گرفت.

۴-۲-۲۴ فرض: گیریم روی پیوسته باشد و نقاط وجود داشته باشند . به طوری که روی ، برای ، متعلق به باشد و برای همه ی و داشته باشیم :
برای مثال ، تابع جبرانیه ی اختیار فروش ، ،در این شرایط صدق می کند .

۴-۲-۲۵ تعریف (ضرب پیچشی^[۸۷]) : برای هر تابع بورل اندازه پذیر و هر اندازه ی روی ضرب پیچشی به صورت زیر تعریف می شود:
[۹].

۴-۲-۲۶ لم: گیریم در فرض ۴-۲-۲۴ صدق کند و ، جواب ویسکوزیته ی مسأله ی زیر باشد:

آن گاه ، برای همه ی ، :
جایی که ثابت C فقط به و ضرایب اپراتور (یعنی ) بستگی دارد .

اثبات: با بهره گرفتن از تعریف (۱۵) و ضرب پیچشی داریم

که چگالی ، چگالی و چگالی

هستند. پس

مشتتقات ممکن است دارای پرش هایی در باشند، این پرش ها را با نشان می دهیم. بنابراین با توجه به ۴-۲-۲۴ برای همه ی و ،
با بهره گرفتن از تعریف ضرب پیچشی

که مشتق نقطه ای ام است. برای همه ی داریم

در نتیجه، برای همه ی ، با توجه به (۸۴)، (۸۵) و (۸۶)

در نتیجه حکم قضیه برای و برقرار است. به وسیله ی استقراء روی فرض می کنیم برای و نامساوی (۸۳) برقرار است. حال برای هر داریم

با به کار بردن این نتیجه برای و استفاده از نتیجه می گیریم

بنابراین برای و نامساوی (۸۳) برقرار است. حال با روندی مشابه بالا، برای و ،با استقراء روی به نتیجه ی مطلوب خواهیم رسید.

با بهره گرفتن از لم قبل، نتیجه ی سازگاری زیر را اثبات می کنیم .

۴-۲-۲۷ لم : اگر جواب مسأله ی (۸۱) و (۸۲) باشد، آن گاه برای همه ی ،
که .

اثبات : با بهره گرفتن از ۴-۱-۱۱ داریم:

از فرمول تیلور نتیجه می گیریم ، به طوری که

(۸۷)

بخش انتگرال به صورت زیر تخمین زده می شود(بنابر تخمین انتگرال ها با بهره گرفتن از روش ذوزنقه ای):

از (۸۷) و (۳۰) نتیجه ی مورد نظر حاصل می شود.

اکنون آماده ی آن هستیم که نرخ همگرایی را به دست آوریم .

۴-۲-۲۸ قضیه: گیریم شرط اولیه ی در فرض ۴-۲-۲۴ صدق کند و همچنین فرض کنیم جواب منحصربه فرد مسألهی (۸۷) و (۸۸) باشد و جواب مسألهی (۷۴) و(۷۵) با است. اگر ، آن گاه

در جایی که فقط به ، و ضرایب اپراتور بستگی دارد.

اثبات: تابع با جواب مسألهی (۷۴) و(۷۵) میباشد. بنابراین و جواب مسألهی (۷۳) و(۷۴) میباشند وطبق لم ۴-۲-۲۳

برای اولین عبارت در (۸۹) با بهره گرفتن از لم ۴-۲-۲۶

بنابراین
(۹۰)

قبل از آن که دومین عبارت (۸۹) را تخمین بزنیم، توجه کنیم که
و

به دلیل این که سری همگراست، بنابراین

حال عبارت دوم (۸۹) را در نظر میگیریم. بنابر لم ۴-۲-۲۶

(۹۳)

اگر باشد، با ترکیب (۸۹)، (۹۰) و (۹۳) نتیجه حاصل می شود.

فصل پنجم

نتایج تجربی و عددی

در این فصل با بهره گرفتن از داده های واقعی بازار بورس داخلی(شاخص کل و شاخص صنعت) و خارجی رفتار بازدهی سهام را مورد تجزیه وتحلیل قرار می دهیم. بعد از آن به شبیه سازی مسیرهای نمونه ای برای دو مدل واریانس گاما و مرتون خواهیم پرداخت. سپس بررسی خواهیم کرد که آیا نوسانات(تلاطم)بازار ثابت است یا خیر؟ در نهایت با بهره گرفتن از الگوریتم صریح-ضمنی به ارزش گذاری اختیارمعاملات اروپایی و توأم بامانع خواهیم پرداخت.

۵-۱ بررسی آماری داده ها و توزیع آن ها

نتایج تجربی شاخص سهام نشان می دهند که لگاریتم بازدهی به عنوان یک توزیع نرمال رفتار نمی کند. برای بررسی این موضوع شاخص سهام چند بورس خارجی و شاخص سهام ایران(شاخص کل و صنعت برای مدت ۵ سال(۸۵-۹۰)) را در نظر می گیریم و برای این که ببینیم آیا لگاریتم بازدهی سهام دارای توزیع نرمال می باشد یا خیر، از سه طرق به بررسی این موضوع خواهیم پرداخت:

۱)کشیدگی، چولگی، میانگین و انحراف معیار

۲)نمودار تابع چگالی

۳) آزمون نیکویی برازش(کای دو)

۵-۱-۱ کشیدگی، چولگی، میانگین و انحراف معیار

جدول(۵-۱) و (۵-۲) خلاصه ای از کشیدگی، چولگی، میانگین و انحراف معیار را برای شاخص سهام خارجی و ایران را نمایش می دهد.

جدول (۵-۱)- میانگین، انحراف معیار، چولگی و کشیدگی شاخص های مهم[۴۸]

جدول (۵-۲)- میانگین، انحراف معیار، چولگی و کشیدگی شاخص اصلی و صنعت ایران

همان طور که مشاهده می شود، چولگی در هیچ یک از موارد صفر نمی باشد(در صورتی که در توزیع نرمال چولگی صفر است). همچنین مشاهده می شود که کشیدگی برای همه ی شاخص ها بزرگتر از ۳ می باشد(در توزیع نرمال کشیدگی برابر با ۳ است) و این مهم ترین دلیلی است که فرایندهای ارزش گذاری دارایی را پرشی در نظر می گیرند.

۵-۱-۲ تخمین تابع چگالی

در این قسمت تابع چگالی داده های واقعی را با تابع چگالی نرمال مقایسه می کنیم. نمودار (۵-۳) تخمین تابع چگالی تجربی را با تابع چگالی نرمال برای شاخص سهام نشان می دهد. برای تخمین تابع چگالی تجربی از تخمین زن چگالی هسته ای استفاده شده است[۴۸].

 شکل(۵-۳)- تخمین زن چگالی هسته ای و چگالی نرمال از شاخص [۴۸]

در این نمودار مشاهده می شود که تابع چگالی داده های تجربی تیزتر از چگالی نرمال است.

نمودارهای (۵-۴) و (۵-۵) مقایسه ی هیستوگرام داده های تجربی را با توزیع نرمال برای شاخص کل سهام و شاخص صنعت نشان می دهند.در این جا نیز مشاهده می شود که توزیع داده های تجربی از توزیع نرمال کشیده تر و دارای دم سنگین تر

می باشد.

۵-۱-۳ آزمون کای دو

یکی از متداول ترین آزمون های نیکویی برازش، آزمون مربع کای دو است که برای داده های گسسته و پیوسته به کار می رود[۴۸]. این آزمون مبتنی بر مقایسه مقادیر مشاهده شده با مقادیر مورد انتظار است. در این جا با بهره گرفتن از این آزمون بررسی خواهیم کرد که آیا داده ها دارای توزیع نرمال هستند یا نه؟(فرض صفر در این جا می گوید که داده ها دارای توزیع نرمال اند) جدول های (۵-۶) و (۵-۷) نتایج آزمون کای دو را (در سطح خطای ۰۵/۰) نشان می دهند. در همه ی موارد فرض صفر(یعنی این که داده ها دارای توزیع نرمال اند) رد می شود.

جدول(۵-۶)- آزمون کای دو نرمال[۴۸]

جدول(۵-۷)- آزمون کای دو نرمال برا ی شاخص اصلی و صنعت ایران

۵-۲ شبیه سازی فرایند واریانس گاما و مدل مرتون

در این قسمت به شبیه سازی مسیرهای نمونه ای دو مدل واریانس-گاما و مرتون خواهیم پرداخت.برای شبیه سازی مدل واریانس-گاما از الگوریتم (۸٫۴٫۲ [۴۸]) استفاده کرده ایم. یک مسیر نمونه ای از فرایند واریانس-گاما در نمودار(۵-۸) نمایش داده شده است.

شکل(۵-۸)- یک مسیر نمونه ای برای فرایند واریانس گاما

نمودار (۵-۹) شبییه سازی یک مسیر نمونه ای فرایند واریانس-گاما و مدل مرتون را نمایش می دهد. تفاوت این نمودار با نمودار قبل در پرش های آن است.

شکل(۵-۹)- چپ: یک مسیر نمونه ای برای مدل مرتون. راست: یک مسیر نمونه ای برای مدل واریانس گاما.

۵-۳ تلاطم

مطالعات تجربی نشان داده‌اند که ضریب شدت تغییرات تصادفی (تلاطم()) ثابت نیست. بر این اساس، عده‌ای از محققین مدل‌های آنالیز تصادفی را برای بررسی تغییرات این کمیت پیشنهاد کرده‌اند که در آن ها به جای در مدل بلک- شولز یک فرایند تصادفی قرار می‌گیرد(۳-۳).در این بخش بررسی خواهیم کرد که آیا تلاطم در بازارهای واقعی ثابت است یا نه؟

نوسان پذیری ضمنی،همان میزان نوسان پذیری که وقتی در معادله بلک شولز جایگذاری می شود، قیمت بازار اختیار معامله را به دست می دهد[۳۶]. بخشی از نوسان پذیری ضمنی یک اختیار معامله که به صورت تابعی از قیمت توافقی آن است، را نوسان پذیری اسمایل گویند[۳۶]. در واقع در بازار با بهره گرفتن از داده های واقعی مشاهده شده است که نمودار تلاطم در مقابل قیمت توافقی به شکل یک لبخند است.

ابتدا تلاطم ضمنی را برای اختیار معامله ی اروپایی با بهره گرفتن از داده های واقعی به دست می آوریم(در این حالت مدل بازار را نرمال فرض کرده ایم). این کار با بهره گرفتن از روش نیوتن رافسون[۴۸] انجام می دهیم. نمودار (۵-۱۰) تلاطم ضمنی را در مقابل قیمت توافقی نشان می دهد.

همان طور که انتظار داشتیم شکل شبیه یک لبخند است. در واقع مشاهده می شود که تلاطم ثابت نمی باشد. در این حالت مدل بازار نرمال در نظر گرفته شده است.

شکل(۵-۱۰)- تلاطم ضمنی در مقابل قیمت توافقی در بازار نرمال

حال فرض می کنیم که بازار نرمال نباشد (فرض می کنیم که بازار دارای یکی از دو مدل واریانس-گاما یا مرتون است) . نمودار (۱۱-۵) تلاطم ضمنی را در مقابل قیمت توافقی در مدل های واریانس گاما و مرتون نشان می دهد.

 شکل(۵-۱۱)- چپ: تلاطم ضمنی در مقابل قیمت توافقی در مدل واریانس گاما. راست: تلاطم ضمنی در مقابل قیمت توافقی در مدل مرتون.

در این جا نیز مشاهده می شود که تلاطم ثابت نیست(شبیه یک لبخند است).

۵-۴ ارزش گذاری اختیارمعاملات با بهره گرفتن از الگوریتم صریح-ضمنی

در این قسمت عملکرد روش صریح-ضمنی ارائه شده در فصل چهارم را با ذکر دو مثال بررسی خواهیم کرد.

در مثال اول یک مدل واریانس گاما را با چگالی لوی

و دو مجموعه از پارامترهای زیر در نظر می گیریم:

و در مثال دوم نیز یک مدل مرتون را با پرش های گاوسی در ارزش لگاریتمی با چگالی لوی زیر در نظر می گیریم:

دو مدل بالا به این دلیل انتخاب شده اند که در هر مورد یک روش جایگزین با معادله ی برای محاسبه ی ارزش اختیار معامله وجود دارد. در واقع در مدل مرتون ارزش اختیار معامله توسط سری بسط داده شده در دسترس است(فصل ۱۰ [۲۴]) و در مدل واریانس گاما نیز فرم بسته ی تابع مشخصه قابل دسترس است، که می توان با بهره گرفتن از روش ^[۸۸] [۲۰] ارزش اختیار معامله را محاسبه کرد. بنابراین می توان ارزش اختیارمعامله را در هر یک از این دو مدل با روش مقایسه کرد.

حال یک اختیار فروش با ساله و را در نظر می گیریم. از دید مالی، اندازه خطای متناسب با این اختیارمعامله به صورت زیر تعریف می شود[۲۶] :

که نشان دهنده ی آن است که تلاطم به صورت ضمنی در نظر گرفته شده است. این خطا در دو حالت بررسی می شود:

۱) به صورت نقطه ای در .

۲) به صورت یکنواخت روی بازه ی (این بازه شامل همه ی اختیارمعاملات اقتباس شده از بازار است[۲۴]).

شکل (۵-۱۲) اندازه خطا را برای مدل مرتون (دومین مثال) برای دو شرط آغازین هموار و ناهموار نمایش می دهد. در این جا دامنه ی به انحراف معیار آن تقسیم شده است(استاندارد سازسی).

شکل(۵-۱۲)-تأثیر خطای اندازه ی موضعی سازی شده برای روش تفاضل متناهی صریح-ضمنی. چپ:مدل مرتون با شرط اولیه ی هموار . راست: مدل مرتون برای اختیار فروش[۲۶].

همان طور که در نمودار بالا مشاهده می شود به محض این که دامنه ی بزرگتر یا مساوی ۳ می شود، خطاهای نقطه ای و یکنواخت کاملاً به یکدیگر نزدیک می شوند و در سطح تقریباً ۵ خطا ثابت به نظر می رسد. شکل (۵-۱۳) آنالیز مشابه ای را برای مدل واریانس گاما (مثال اول) نشان می دهد.

شکل(۵-۱۳)- تأثیر خطای اندازه ی موضعی سازی شده برای روش تفاضل متناهی صریح-ضمنی. مدل های واریانس گاما، مرتون برای اختیار فروش[۲۶].

نمودار (۵-۱۴) نشان می دهد، هنگامی که و به سمت صفر میل می کنند( و بزرگ می شوند)، خطای عددی کاهش می یابد.

شکل(۵-۱۴)-خطای عددی برای اختیار فروش در مدل مرتون. چپ: تأثیر تعداد گام های زمانی ، و . راست: تأثیر تعداد گام های زمانی ، و .[۲۶]

نمودار(۵-۱۵) رفتار خطا را برای دو شرط اولیه ی هموار و ناهموار برای در مقابل زمان نشان می دهد که با افزایش خطا کاهش می یابد.

شکل(۵-۱۵)- کاهش خطا با زمان سررسید در مدل مرتون. چپ: شرط اولیه ی ناهموار(اختیار فروش) . راست: شرط اولیه ی هموار . [۲۶]

در حالتی که با یک مدل متناهی با فعالیت نامتناهی مواجه هستیم، پارامتر برش برای پرش های کوچک نیز روی جواب موٌثر است.

در قضیه ی (۴-۱-۱۴) نشان داده شد که اگر ، خطا به صفر میل می کند اما برای یک (ثابت در نظر گرفته شده) خطای عددی تعریف شده در بالا، وقتی که ، افزایش می یابد. یعنی ثابت در (۴-۲-۲۷) از مرتبه ی است و با افزایش می یابد. این پیشنهاد می کند[۲۶] که یک انتخاب بهینه ی برای یک داده شده، وجود دارد. شکل (۵-۱۶) این پدیده را برای مدل واریانس گاما نمایش می دهد.

شکل(۵-۱۶)-تأثیر برش پرش های کوچک روی خطای عددی در انواع مدل های وارانس گاما برای اختیار فروش.[۲۶]

شکل (۵-۱۷)ارزش اختیار معاملات توأم با مانع را برای مدل مرتون نشان می دهد. نمودار سمت راست ارزش یک اختیار خرید را نمایش می دهد و نمودار سمت چپ ارزش یک اختیار فروش توأم با مانع مضاعف را نشان می دهد. همان طور که مشاهده می شود در نمودار سمت چپ با افزایش تعداد گام های زمانی خطای عددی کاهش می یابد.

شکل(۵-۱۷)- چپ: ارزش اختیار فروش توأم با مانع مضاعف به عنوان تابعی از تعداد گام های زمانی با مانع های . راست:ارزش اختیار خرید در مدل مرتون با مانع . [۲۶]

جدول (۵-۱۸) ارزش چند اختیار معامله و زمان محاسبه ی آن ها (بر حسب ثانیه) را بر اساس روش نشان می دهد.

جدول(۵-۱۸)- مثال هایی برای ارزش گذاری اختیار معامله. ، ، ، و . پارامتر برش طبق شکل (۱۸-۵) انتخاب شده است[۲۶]. 

فصل ششم

نتیجه گیری و پیشنهادات آتی

۶-۱ نتیجه گیری:

خاصیت مارکوف این اجازه را به ما می‌دهد، که ارزش اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع را به صورت جواب های معادلات بیان کنیم .در واقع در این پایان نامه به محاسبه ی ارزش اختیارمعاملات اروپایی و توأم بامانع تحت مدل های دیفیوژن پرشی و مدل های لوی نمایی پرداخته شده است. این کار از طریق حل معادلات توسط یک روش تفاضل متناهی صریح- ضمنی انجام شده است.

برای حل معادله ی ممکن است که ناهمواری شرایط اولیه، غیر موضعی بودن عبارت انتگرالی، تکین بودن انتگرال در صفر و تباهیدگی ضریب دیفیوژن برخی مشکلات را پدید آورند. تحت یک سری فرض ها روی چگالی لوی این مشکلات برطرف شده است.

روش تفاضل متناهی ارائه شده در همه ی فرایندهای لوی قابل دسترس است و نیاز به فرم بسته ی تابع مشخصه ی آن ها ندارد و می توان این روش را برای اختیار معاملات اروپایی و توأم بامانع به کار برد.

دیگر روش های تفاضل متناهی پیشنهاد شده برای [۷و۳۱و۵۱] فاقد بررسی همگرایی، پایداری و سازگاری است اما در روش ارائه شده در این پایان نامه همگرایی، پایداری و سازگاری مورد بررسی قرار گرفته است. جدول (۶-۱) روش های عددی متفاوت را برای مقایسه می کند.

جدول(۶-۱)-روش های عددی برای [۲۴]

۶-۲ پیشنهاداتی برای تحقیقات آتی:

برای پیشنهاد تحقیقات آتی می توان روی سوالات زیر متمرکز شد:

۱) آیا روش ارائه شده در این پایان نامه را می توان برای دیگر انواع اختیارمعاملات(از جمله اختیار معامله ی آمریکایی) به کار برد؟

۲) آیا می توان عبارت انتگرالی در معادله ی را با روش های مونت-کارلو تخمین زد؟

۳) آیا می توان فرایندهای لوی را به حالت کلی تر، مثلاً فرایندهای فلر، توسعه داد؟

مراجع

[۱] اپل باوم، دیوید؛ ترجمه ی: نجومی،حسن؛ جهانی پور روح ا… . فرایندهای لوی: از احتمال تا ریاضیات مالی و گروه های کوانتمی. فرهنگ و اندیشه ی ریاضی، شماره ی ۳۴(بهار ۱۳۸۴).

[۲] الیپرانتیس،ک د؛ برکینشاو، ا؛ ترجمه ی: رضوانی محمدعلی. اصول آنالیز حقیقی. ویرایش سوم. تهران: پوران پژوهش،۱۳۸۶ .

[۳] رابرت، ژارو ؛ پروتر، فیلیپ. تاریخچه ی انتگرال تصادفی و ریاضیات مالی از ۱۸۸۰ تا ۱۹۷۰ . فرهنگ و اندیشه ی ریاضی، شماره ی ۳۶(بهار ۱۳۸۵).

[۴] زرگری، بهناز؛ زمانی، شیوا؛ ظهوری زنگنه، بیژن؛ کنت، راما. استخراج فرمول قیمت گذاری اختیارمعامله در مدل هستون. فرهنگ و اندیشه ی ریاضی، شماره ی ۴۴(بهار ۱۳۸۹).

[۵] هال، جان؛ ترجمه ی: سیاح، سجاد؛ صالح آبادی، علی؛ مبانی مهندسی مالی و مدیریت ریسک. ویرایش دوم. تهران: گروه رایانه تدبیر پرداز، ۱۳۸۴٫

[۶] Amin, K.” Jump-diffusion option valuation in discrete time". J. Finance

۴۸(۱۹۹۳), pp. 1833-1863.

[۷] Andersen, L; Andreasen,J." Jump-diffusion models: Volatility smile fitting and numerical methods for pricing“. Rev. Derivatives Research, 4 (2000), pp. 231–۲۶۲٫

[۸] Applebaum,D. Levy Processes and Stochastic Calculus. 2th ed.Cambridge University Press, 2009.

[۹] Athreya, Krishna, B; Lahiri, Soumendra, N. Measure Theory and Probability Theory. Springer Tests in Statistics. 2006.

[۱۰] Bachelier,L. “Theorie de la Speculation”. Annales Scientifiques de L’ Ecole Normale Superieure. (1900), pp. 21-86.

[۱۱] Bachelier,L. Theorie de la Speculation. Paris: Gauthier-Villars,1900.

[۱۲] Barles,G; Souganidis,P. “Convergence of approximation schemes for fully nonlinear second order equations“. Asymptotic Anal, 4 (1991), pp. 271–۲۸۳٫

[۱۳] Boyarchenko, S; Levendorskii. S. Non-Gaussian Merton-Black- Scholes Theory. World Scientific: River Edge, NJ, 2002.

[۱۴] Bensoussan,A; Lions,J,-L. Contrˆole Impulsionnel et In´equations Quasi-Variationnelles. Dunod, Paris, 1982.

[۱۵] Black, F; Scholes M. “The Pricing of Options andCorporate Liabilities". Journal of Political Economy. 3,1973. pp. 637-654.

[۱۶] Brandimarte,P. Numerical Methods in Finance and Economice:A Matlab-Based Introduction. 2th ed. A John Wiley & Sons. 2006.

[۱۷] Brezeniak, Z ; Zastawniak,T. Basic Stochastic Processes. Kingeston upon Hull. 2000.

[۱۸] Carr, P; Faguet, D. Fast accurate valuation of American options working paper. Cornell University. 1994.

[۱۹] Carr, P; Gernan, H; Madan, D; Yor, M. “The fine structure of as asset returns:

An empirical investigation“. Journal of Business, 75 (2002).

[۲۰] Carr, P; Madan, D.” Option valuation using the fast Fourier transform”. J. Comput.Finance, 2 (1998), pp. 61–۷۳٫

[۲۱] Carr, P ; Wu, L.” The finite moment logstable process and option pricing“. J. Finance, 58(2003), pp. 753–۷۷۸٫

[۲۲] Chung, K, L. A Course in Probability Theory. 3th ed. Academic Press. 2001.

[۲۳] Cinlar,E. Probability and Stochastics. Springer. 2010.

[۲۴] Cont, R ; Tankov,T. Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall/CRC,Boca Raton, FL. 2004.

[۲۵] Cont, R ; Tankov,T." Nonparametric calibration of jump-diffusion option pricing models“. J. Comput. Finance, 7 (2004), pp. 1–۴۹٫

[۲۶] Cont, R; Voltchkova, E.” Finite difference methods for option pricing in jump-diffusion and exponential Levy models“. Rapport Interne 513, CMAP, Ecole Polytechnique. 4(2003). pp. 1596-1626.

[۲۷] Cont, R; Voltchkova, E." Integrodifferential equations for option prices in exponential L´evy models“. Finance Stoch. 9 (2005), pp. 299–۳۲۵٫

[۲۸] Crandall, M, G; Ishii, H; Lions, P,-L." User’s guide to viscosity solutions of second order partial differential equations“. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 27 (1992), pp. 1–۶۷٫

[۲۹] Crandall, M; Lions,P,-L." Two approximations of solutions of Hamilton-Jacobi equations”. Math. Comp. 43 (1984), pp. 1–۱۹٫

[۳۰] Derman, E; Kani, I.” Riding on a Smile”. RISK, 7 (1994), pp. 32-39.

[۳۱] D’Halluin, Y; Forsyth,P, A; Labahn, G." A penalty method for American options with jump diffusion processes“. Numer. Math., 97 (2004), pp. 321–۳۵۲٫

[۳۲] Duffy, D, J. Finite Difference Methods in Financial Engineering: A Partial Differential Equation Approach. A John Wiley & Sons. 2006.

[۳۳] Dupire, В.” Pricing with a smile”. RISK, 7 (1994), pp. 18-20.

[۳۴] Garroni, M, G; Menaldi, J, L. Second Order Elliptic Integro-Differential Problems. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2002.

[۳۵] Harrison, J, M; Pliska,S, R.” Martingals and Stochastic Integrals in the Theory of Contiuous trading“. Stochastic Process. Appl. 11(1981), pp. 215-260.

[۳۶] Hull, J, C. Options, Futures and Other Derivatives. 6^th ed. Prentice Hall Upper Saddle River . 2006.

[۳۷] Ito, K; Mckean, H, P, Jr. Diffusion Processes and Their sample Paths. New York. Springer, 1965.

[۳۸] Korn, R; Korn, E; Kroisandt, G. Monte Carlo Method and Models in Finance and Insurance. Chapman & Hall/CRC, 2010.

[۳۹] Krylov, N." On the rate of convergence of finite difference approximations for Bellman’s equations” St. Petersburg Math. J. 9 (1997), pp. 245–۲۵۶٫

[۴۰] Krylov, N." On the rate of convergence of finite difference approximations for Bellman’s equations with variable coefficients“. Probab. Theory Related Fields, 117 (1997), pp. 1–۱۶٫

[۴۱] Lyuu, Y,-D. Financial Engineering and Computation Principles, Mathematics, Algorithms. National Taiwan University. Cambridge University Press, 2004.

[۴۲] Matache, A,-M; Petersdorff, T, Von; Schwab, C." Fast deterministic pricing of options on L´evy driven assets“. M2AN Math. Model. Numer. Anal. 38 (2004), pp. 37–۷۱٫

[۴۳] Mikosch, T. Elemntray Stochastic Calculus: with Finance in View. World Scientific, 1999.

[۴۴] Nualart, D; Schutens, W. “Chatic and Predictable Representations for Levy Processes“. Stochastic Processes and their Applications 90(2000), pp. 109–۱۲۲٫

[۴۵] Pascucci, A. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. B&SS – Bocconi & Springer Series, 2011.

[۴۶] Samuelson, P." Rational Theory of Warrant Pricing“. Industrial Management Review, 6(1965), pp.13-39.

[۴۷] Sato, K. L´evy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press,Cambridge, UK, 1999.

[۴۸] Schoutens, W. Levy Processes in Finance. John Wiley & Sons, 2003

[۴۹] Shereve, S, E. Stochastic Calculus for Finance 2. Springer Finance, 2004.

[۵۰] Tankov, P. “Pricing and Hedging in Exponential Levy Models: Review of Recent Results“. Paris-Princeton Lectures on Mathematical Finance (2010), pp. 319-359

[۵۱] Tavella, D; Randall, C. Pricing Financial Instruments. Wiley, New York, 2000.

[۵۲] Zhang, X." Valuation of American options in a jump-diffusion model ". in Numerical Methods in Finance, Cambridge University Press, Cambridge, UK( 1997) pp. 93–۱۱۴٫

واژه نامه انگلیسی- فارسی

1. 1. شاخص امکانات فیزیکی فضاهای آموزشی

1. 1. شاخص دانش آموزی

1. 1. شاخص نیروی انسانی

1. 1. شاخص اقتصادی

منظور از شاخص های ۴ گانه بالا، مجموعه ای از شاخص هاست که به علت شباهتهای موجود بینشان و تعلق به یک ویژگی مشابه تحت عنوان یک شاخص نامگذاری شده اند. ۴ دسته شاخص بالا در تحقیقات مختلف و از جمله در تحقیق موسوی و حسنی(۱۳۹۰) در سنجش درجه توسعه یافتگی مناطق آموزشی استان آذربایجان غربی مورد استفاده قرار گرفته است.
در تحقیق حاضر شاخص امکانات فیزیکی فضاهای آموزشی از طریق وزن دهی آنتروپی و تکنیک تصمیم گیری چند معیاره تاپسیس از تلفیق شاخص های زیر محاسبه شده است:

1. 1. نسبتکلاسبهدانش‌آموزمقطعدبیرستاندرمنطقه،

1. 1. 1. تعدادمدرسهدبیرستانبرایهر ۱۰۰ نفردانش‌آموزدرمقطعمتوسطهدرمنطقه،

   

1. 1. تعدادنمازخانهبه ۱۰۰۰ نفردانش‌آموزدرمنطقه،

1. 1. تعدادکتابخانهبه ۱۰۰۰ نفردانش‌آموزدرمنطقه،

1. 1. تعدادسالنورزشی به ۱۰۰۰ نفردانش‌آموزدرمنطقه،

1. 1. سرانهفضایآموزشیبرایهردانش‌آموز

نحوه محاسبه این شاخص ها در جدول شماره ۳-۳ در فصل سوم ارائه شده است.
شاخص دانش آموزی از طریق وزن دهی آنتروپی و تکنیک تصمیم گیری چند معیاره تاپسیس از تلفیق شاخص های زیر محاسبه شده است:

1. 1. نسبتدانش‌آموزدختربهپسردرمقطعمتوسطهدرمنطقه،

1. 1. نسبتکتاببهدانش‌آموزاندرمقطعمتوسطهدرمنطقه،

1. 1. نسبتدانش‌آموزانپسربهکلدانش‌آموزانمقطعدبیرستان،

1. 1. نسبتدانش‌آموزاندختربهکلدانش‌آموزانمقطعدبیرستان،

1. 1. نسبت دانش آموز فنی و حرفه ای و کاردانش دختر به کل دانش آموزان

1. 1. نسبت دانش آموز پسر فنی و حرفه ای به کل دانش اموزان مقطع متوسطه

نحوه محاسبه این شاخص ها در جدول شماره ۳-۳ در فصل سوم ارائه شده است.
شاخص نیروی انسانی از طریق وزن دهی آنتروپی و تکنیک تصمیم گیری چند معیاره تاپسیس از تلفیق شاخص های زیر محاسبه شده است:

1. 1. نسبتمعلمبهدانش‌آموزاندبیرستاندرمنطقه،

1. 1. نسبتمعلمانفوقلیسانسودکتری درمقطعدبیرستاندر ۱۰۰ نفردانش‌آموزدبیرستاندرمنطقه

1. 1. نسبتمعلمانزنبهدانش‌آموزاندختردرمقطعدبیرستانمنطقه،

1. 1. نسبتکارمندبهدانش‌آموزبهازای هر ۱۰۰ دانش‌آموزدرمقطعدبیرستانمنطقه،

1. 1. نسبتکارمندآموزشی زنبهکلکارمندانآموزشی درمقطعابتداییمنطقه،

1. 1. نسبتمدیرانزنبهکلمدیرانمنطقه،

1. 1. نسبتمدیرانزنفوقلیسانسودکتری بهکلمدیرانمنطقه،

1. 1. نسبتمدیرانزنلیسانسوبالاتربهکلمدیرانمنطقه،

1. 1. نسبتمدیرانمنطقهبهتعدادکارمندانمنطقه.

نحوه محاسبه این شاخص ها در جدول شماره ۳-۳ در فصل سوم ارائه شده است.
شاخص اقتصادی از طریق وزن دهی آنتروپی و تکنیک تصمیم گیری چند معیاره تاپسیس از تلفیق شاخص های زیر محاسبه شده است:
۱٫نسبتاعتباراتعمرانی بهتعداددانش‌آموزاندبیرستاندرهرمنطقه،
۲ .نسبتهزینهسرانهدانش‌آموزی بهتعداددانش‌آموزاندبیرستاندرهرمنطقه
نحوه محاسبه این شاخص ها در جدول شماره ۳-۳ در فصل سوم ارائه شده است.
ج) شاخص فرایند مدرسه
در بررسی فرایند آموزش به عنوان یکی از عوامل مهم ایجاد کننده نابرابری ها دو سطح مورد بررسی واقع می شود. در تعدادی از موارد بر سازماندهی مدرسه به عنوان مثال توزیع دانش آموزان در رشته های تحصیلی مختلف و در بقیه موارد به برخورد متفاوت کادر مدرسه با دانش آموزان در مدرسه و کلاس درس تاکید می شود ( Foster,Gomn,Hammersly,2005 : 72). برای فرایند مدرسه شاخص هایی مانند انظباط در مدرسه، جو عاطفی مدرسه، ارتباط با معلمان ، حمایت از سوی معلمان و انتظارات بالای کادر آموزشی را در نظر گرفته شده است (Cervini 2003:11).فرایزر(۱۹۸۹) و موس(۱۹۸۰)این متغیرها را تحت عنوان “جو مدرسه و کلاس درس” نامگذاری کرده اند(همان: ۱۲). همچنین در پروژه شاخص های برابری مربوط به “گروه اروپایی تحقیق درباره برابری در سیستم های آموزشی” (EGREES)^[24]فرایند آموزش به کیفیت آموزش دریافتی و کمیت آموزش دریافتی تعبیر شده است. کمیت آموزش دریافتی مربوط به تعداد ساعات درسی در مدرسه و نیز تعداد سالهای تحصیل است که معمولا در درون یک کشور و به ویزه نظام های آموزشی متمرکز برای همه مناطق ثابت است اما کیفیت آموزش مربوط به مواردی از قبیل کیفیت معلم( تجربه و مدرک تحصیلی) کارآمدی معلم، کیفیت جو کلاس، کیفیت جو مدرسه ، شرایط یادگیری، انتظار بالای معلم و مدرسه، اداراک درباره برخورد با عدل و انصاف از طرف معلم­، مدیر و بقیه کارکنان،ادراک از حمایت از طرف معلمان، ارتباط با معلم مدیر و بقیه کارکنان ،جو انظباطی مدرسه،ارتباط با همکلاسی ها و … را شامل می شود(,European Group of Research on Equity of the Educational Systems,2001: 50-62).
ب. تعریف عملیاتی: مولفه های مربوط به فرایند مدرسه شامل انتظار بالای کادر مدرسه برای موفقیت دانش آموز٬ احساس دانش آموز درباره رفتار با عدل و انصاف٬ ادراک دانش آموز درباره حمایت از طرف معلم ٬ ارتباط با کادر مدرسه٬ جو انظباطی کلاس و مدرسه(با دو بعد) و کارآمدی معلم می باشد که برای سنجش آنها از پرسشنامه مورد استفاده در تحقیق پیزا(۲۰۰۳) استفاده شده است. این پرسشنامه ها با بهره گرفتن از طیف لیکرت تنظیم شده اند که پرسشنامه ” انتظارات بالای کادر مدرسه از دانش آموزان” داری ۵ سوال، پرسشنامه ” پرسشنامه احساس دانش آموز درباره رفتار با عدل و انصاف” دارای ۶ سوال ، پرسشنامه “ادراک دانش آموز درباره حمایت از طرف معلم” با ۶ سوال، پرسشنامه “ارتباط با کادر مدرسه” دارای ۲ سوال، پرسشنامه “جو انظباطی کلاس و مدرسه” دارای ۸ سوال و “کارآمدی معلم از دیدگاه دانش آموزان “دارای ۷ سوال می باشد.
شایان ذکر است که شاخص فرایند مدرسه از تلفیق نمره میانگین متغیرهای(مولفه های) مربوط به فرایند مدرسه شامل انتظار بالای کادر مدرسه برای موفقیت دانش آموز٬ احساس دانش آموز درباره رفتار با عدل و انصاف٬ ادراک دانش آموز درباره حمایت از طرف معلم ٬ ارتباط با کادر مدرسه٬ جو انظباطی کلاس و مدرسه(با دو بعد) و کارآمدی معلم به عنوان شاخص همان متغیر با بهره گرفتن از وزن دهی آنتروپی و تکنیک تصمیم گیری چندمعیاره تاپسیس به دست آمده است.
د) شاخص هایبرونداد

1. 1. شاخص های پیشرفت تحصیلی(شناختی)

برونداد شناختی مانند پیشرفت تحصیلی که تغییر در ساختارهای شناختی فرد یا سطح دانش او را موجب می شود((Vignoles and Meschi, 2010:1

کاروان شریف اسرای کربلا از نظر دشمن که محجوب و بعید است از سلطان وجود اسیرند، اما بر خلاف این کوردلان آنان «شاه مقام قرب دوست» هستند؛‌ مقامی که بین آنان و حضرت محبوب، هیچ مانعی نیست.
از نظر عرفا، بهشت دو نوع است: عام و خاص. بهشت عام، بهشت اکل و شرب و مناکحه است که از برای بندگان عام است، اما بهشت خاص، مقام لقا و وصال و مشاهده حضرت حق تعالی است که بهشت بندگان خاص است.^[۹۴] مولانا، امام حسین و شهیدان کربلا را مقیمان بهشت وصال حضرت دوست که بهشت بندگان خاص است، معرفی می‌کند که قفس دنیا را شکسته‌ و پرواز ابدی کرده‌اند به کوی دوست. توانگر شکوفه وصال سیدالشهدا، شهره آفاق شده و او خورشید فروزان و به ثمر نشسته محفل واصلان محبوب است. امام حسین (علیه‏السلام) به این مقام والا رسیده است، چون ریشه درخت وجود مبارکش، از ذات اقدس الهی توانگر شده است.

در غزل ۲۱۰۲ کلیات شمس مولوی، اشاره کوتاه اما پر مغز به اصل منیع «فنا در توحید فعل»می کند و می‌گوید رمز نبودن فرق، ماندن و رفتن برای حسین آن است که او چون به مقام فنای توحید فعل رسیده است، اراده و فعلش مستهلک در توحید است. او تسلیم اراده و تدبیر الهی است.^[۹۶]
حسین و شهدا با دوری جستن از آرزوها و امیال نفسانی با ساحت عشق آشنا شدند. او فدایی معشوق است و خون خود را در این معاشقه بر آستانه­ محبوب می‌ریزد، چرا که برای او مسئله بودن یا نبودن نیست، بلکه مسئله فنای عاشقانه است. (شکسپیر هملت). حسین و عاشقان حسینی صفت در پی بلا و سختی‌ها و مشکلات وجودی‌اند در برابر عوام و واماندگان که فراری از تدبیر الهی‌اند.
مولانا در این غزل نیز با روش مطالعه مقارنه‌ای، کوشش می‌کند، فهم بهتری از حسین و عاشقان حسینی و «واماندگان» راه حماسی کربلا نشان دهد.

اما طولانی‌ترین و مشهورترین غزل مولانا در باب عظمت و علو مقام حسین و شهیدان کربلا، غزل ۲۷۰۷ کلیات شمس است. مطلع غزل شهیدان الهی و بلاجویان معاشقه کربلایی است و پایان آن به زیبایی ارجاع است به انسان کامل و خورشید موعود که شاهد است و ناظر و اصل نزول انوار الهی است در عالم ممکنات.در این غزل، شهیدان و عاشقان مترادفند. شهیدان به یاری تجرد وجودی و معرفت که مقدمه­ی عاشقی است و «بال‌های عاشقی» از مرغان هوایی نیز بهتر پرواز در ساحت حضرت دوست می‌کنند. «یحبهم و یحبونه» ^[۹۸]. آن‌ها شاهان عالم غیب­اند و به کمک عشق باب‌های عوالم پنهان را گشوده‌اند. یکی از رمزهای توفیق آن‌ها در پرواز عاشقانه رهایی از انواع خود است. آن‌هااز آن جهت که فانی و باقی در:عقل شده‌اند در ناکجاآبادند. ^[۹۹]
نگرش مولوی به امام حسین (علیه‌السلام) نگرش عارفانه است، وی سعی می‌کند که منطق قیام امام حسین (علیه‌السلام) را منطق پروانه­ای نشان دهد، که خود را به آتش می­سپارد. وی منطق قیام امام حسین (علیه‌السلام) را پرهیز نکردن از عشق می‌داند. یعنی نه یکسره عارف مأبانه و عاطفی به قیام عاشورا می‌نگرد و نه نگرش صرفاً سیاسیـ اجتماعی و انقلابی دارد. بلکه او هم به ابعاد عرفانی قیام امام حسین (علیه‌السلام) نظر دارد و هم به ابعاد حماسی، دلیری، عزت طلبی و حق جویی و شجاعت امام از نگاه مولوی، امام حسین (علیه‌السلام) عاشقانه و آگاهانه شهادت با شمشیر را برای خود و یارانش و اسارت را برای زنان و کودکانش برگزید تا از این رهگذر درخت دین را که می‌رفت از تشنگی خشک شود، آبیاری نماید. «ان کان دین محمد لم یستقم الا به قتلی فیاسیوف خذینی» این سخن حماسی و شکوهمند امام حسین است که رو ح دلاوری، شجاع، آزادگی و ایثار، جانبازی و پایمردی در آن موج می‌زند.
نگاه دیگر مولوی به قیام امام حسین (علیه‌السلام) نگاه به یک یل پر دل و شجاع و رزمنده­ای بی هراس و بی­باک است، که یک تنه به سپاه خصم هجوم می­برد، گویا ابداً ترس را نمی­شناسد. او سراپا شجاعت است و غیرت و رشادت. پسر علی است که نشان از پدر دارد.
نگاه دیگر مولوی به حماسه عاشورا نگرش به امام حسین (علیه‌السلام)، به عنوان راد مرد شجاع است، که در راه احیایی حق و دفاع از عقیده و آزمایش هیچ هراسی ندارد و این عشق به حق است که او را چنین بی باک نموده است.