| (۱۸) |
که درآن تابع توزیع انتقال سیستم، نویز دینامیک با تابع توزیع احتمال PDF[18]))معلوم است. فرض شده که تابع توزیع احتمال حالتهای اولیه مشخص باشد. اندازه گیری ها (مشاهدات) موجود توسط معادله زیر با حالتهای سیستم در ارتباط می باشد.
| (۱۹) |
که درآن تابع اندازه گیری است و نویز اندازه گیری با تابع چگالی احتمال مشخص فرض می شود. فرض کنید در لحظه زمانی ام مجموعه ای از اندازه گیری ها در دسترس می باشد، در این صورت تخمین بهینه توسط امید شرطی بدست می آید. اما مشکل محاسبه این امید شرطی به طور واضحی مرتبط با محاسبه PDF شرطی که به طور کلاسیک در دو مرحله پیش بینی وبه روز رسانی بدست می آید، می باشد.
مرحله پیش بینی
فرض کنید که PDF در لحظه زمانی ام موجود است. درمرحله پیش بینی توسط معادله انتگرالی چاپمن-کولموگرف[۱۹] محاسبه میشود.
| (۲۰) |
مرحله به روز رسانی
درهر لحظه زمانی، با موجود بودن مقدار ، تابع توزیع احتمال پیشین توسط قانون بیز به روز رسانی می شود.
| (۲۱) |
با جایگزینی معادله (۲۰)در(۲۱) می تون به جواب بازگشتی زیر دست یافت.
| (۲۲) |
معادله (۲۲) جواب فرمال برای تخمین بازگشتی بیزین محسوب می شود. اما متاسفانه این جواب معمولا با بعد نامتناهی می باشد. یک روش کارا ومتفاوت برای حل این مشکل فیلتر ذره ای محسوب می شود. فیلتر ذره ای روشی برای حل مسائل تخمین غیر گوسی- غیر خطی محسوب می شود.
یکی از روش های مونت کارلو در دسترس برای مساله تخمین حالت روش فیلتر ذره ای است، که با نام فیلتر بوت استراپ، الگوریتم چگالش، تقریب های ذره ای متقابل و بقای مناسب ترین نیز شناخته می شود. ایده کلیدی این فیلتر ارائه تابع چگالی قیاسی مورد نظر توسط مجموعه ای از نمونه های تصادفی(ذرات) با وزن متناظر، و محاسبه تخمین ها بر اساس این نمونه ها و وزن ها است. با افزایش تعداد نمونه ها این تعیین ویژگی مونت کارلو بازنمایی معادلی از تابع احتمال قیاسی خواهد بود و راه حل به تخمین بیزی بهینه نزدیک می شود.
در ادامه الگوریتم معروف به نمونه گیری اهمیت توالی(SIS) را برای فیلتر ذره ای ارائه می دهیم که شامل گام نمونه گیری مجدد در هر لحظه می شود. الگوریتم SIS از چگالی اهمیت استفاده می کند که چگالی پیشنهادی برای ارائه چیزی دیگر است که نمی تواند به طور دقیق محاسبه شود، یعنی چگالی قیاسی به دست آمده در حالت کنونی. سپس، نمونه ها به جای چگالی واقعی از چگالی اهمیت برداشته می شوند.
اگر ذراتی با وزن متناظر، و مجموعه همه وضعیت ها تا tk باشد، که در آن N تعداد ذرات است، وزن ها به طوری نرمال سازی می شوند که=۱٫ سپس، چگالی قیاسی در tk را می توان به طور گسسته توسط معادله زیر تخمین زد:
